Encontrar los puntos de inflexión de las siguientes funciones.
- $$f(x)=x^2+1$$
- $$f(x)=1$$
- $$f(x)=\ln(x^2+1)-x$$
- $$f(x)=x^3-2x^2$$
Desarrollo:
Resolveremos el ejercicio haciendo todos los pasos: derivar dos veces la función, igualar a cero, resolver la ecuación y los puntos encontrados seran los puntos de inflexión.
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$$f'(x)=2x \Rightarrow f''(x)=2$$
$$f''(x)=0 \Rightarrow 2=0 \Rightarrow$$ No hay puntos d'inflexión.
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$$f'(x)=0 \Rightarrow f''(x)=0$$
$$f''(x)=0 \Rightarrow 0=0$$
Este es un caso particular. Llegamos a una situación que no es falsa pero no encontramos ninguna $$x$$ concreta. Esto significa que todas las $$x$$ son puntos de inflexión.
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$$f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1} \Rightarrow f''(x)=\dfrac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}$$
$$f''(x)=0 \Rightarrow \dfrac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}=0 \Rightarrow -2x^2+2=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=1, \ x=-1 $$
Tenemos puntos de inflexión en $$x=1$$ y $$x=-1$$.
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$$f'(x)=3x^2-4x \Rightarrow f''(x)=6x-4$$
$$f''(x)=0 \Rightarrow 6x-4=0 \Rightarrow x=\dfrac{4}{6}$$
Tenemos puntos de inflexión en $$x=\dfrac{4}{6}$$.
Solución:
- No hay puntos de inflexión.
- Todos los puntos son de inflexión.
- Tenemos puntos de inflexión en $$x=1$$ y $$x=-1$$.
- Tenemos puntos de inflexión en $$x=\dfrac{4}{6}$$.