Ejercicios de Concavidad y convexidad, puntos de inflexión de una función

Desarrollo:

Resolveremos el ejercicio haciendo todos los pasos: derivar dos veces la función, igualar a cero, resolver la ecuación y los puntos encontrados seran los puntos de inflexión.

1. $f^{\prime }(x)=2x\Rightarrow f^{″}(x)=2$

   $f^{″}(x)=0\Rightarrow 2=0\Rightarrow$ No hay puntos d'inflexión.

2. $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow f^{″}(x)=0$

   $f^{″}(x)=0\Rightarrow 0=0$

   Este es un caso particular. Llegamos a una situación que no es falsa pero no encontramos ninguna $x$ concreta. Esto significa que todas las $x$ son puntos de inflexión.

3. $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}\Rightarrow f^{″}(x)={\displaystyle \frac{-2x^2+2}{(x^2+1{)}^2}}$

   $f^{″}(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{-2x^2+2}{(x^2+1{)}^2}}=0\Rightarrow -2x^2+2=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=1,x=-1$

   Tenemos puntos de inflexión en $x=1$ y $x=-1$.

4. $f^{\prime }(x)=3x^2-4x\Rightarrow f^{″}(x)=6x-4$

   $f^{″}(x)=0\Rightarrow 6x-4=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4}{6}}$

   Tenemos puntos de inflexión en $x={\displaystyle \frac{4}{6}}$.

Solución:

1. No hay puntos de inflexión.
2. Todos los puntos son de inflexión.
3. Tenemos puntos de inflexión en $x=1$ y $x=-1$.
4. Tenemos puntos de inflexión en $x={\displaystyle \frac{4}{6}}$.

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