Definició de números racionals

Definició

Per definir els nombres racionals comencem definint els nombres naturals. Els nombres naturals són $$1,2,3,4,5,\dots$$

Formalment els nombres naturals són aquells que es poden escriure com a suma d'uns.

Al conjunt de nombres naturals que escrivim com $\mathbb{N}$.

El formalisme presentat pot resultar interessant en un context on calgui rigorositat en les definicions. En el nostre context deixarem de banda aquest formalisme per centrar-nos en el punt de vista més intuïtiu.

Els nombres naturals permeten definir la suma de dos nombres de manera "natural". També podem pensar en la resta com una operació natural, però és fàcil observar com la resta de dos nombres naturals no ha de ser natural.

Per poder definir la resta de nombres naturals definim els nombres enters, que consisteixen en afegir als nombres naturals els números necessaris per poder definir la resta.

Com és conegut, els nombres enters són $$\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots$$

És a dir, els nombres naturals són els enters amb signe positiu. El conjunt de nombres enters que escrivim $\mathbb{Z}$. Segons aquestes notacions tenim $\mathbb{N}\subseteq \mathbb{Z}$.

Els nombres enters disposen d'una altra operació. No és altra que la multiplicació usual. El producte de nombres enters és un altre nombre enter.

Podríem ara definir la divisió de nombres enters. Això no és possible sempre ja que la divisió de nombres enters no té perquè ser enter. Per exemple ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ no és enter.

Per poder definir la divisió de nombres enters cal considerar els nombres racionals.

Els nombres racionals consisteixen en el quocient de nombres enters, on dos nombres racionals són iguals si el producte creuat és igual.

És a dir, ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ és igual a ${\displaystyle \frac{c}{d}}$ si $ad=cb$.

En la definició anterior es requereix que tant $b$ com $d$ siguin no nuls, perquè el nombre racional estigui ben definit.

El nombre enter $n$ s'associa al racional ${\displaystyle \frac{n}{1}}$.

Aquesta última expressió no s'utilitza si no és necessària, escrivint només $n$. El conjunt de nombres racionals es denota per $\mathbb{Q}$. Segons el comentari anterior tenim $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Q}.$

Veiem com les operacions de suma i resta definides per enters es poden estendre als nombres racionals:

$${\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{ad+bc}{bd}}$$ $${\displaystyle \frac{a}{b}}-{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{ad-bc}{bd}}$$

Les operacions de multiplicació i divisió es realitzen segons aquesta regla:

$${\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{ac}{bd}}$$ $${\displaystyle \frac{a}{b}}:{\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{ad}{bc}}$$