Expressió decimal de números racionals

Tot nombre racional es pot expressar en base decimal. Aquesta expressió és, per dir-ho col·loquialment, el que la majoria de gent entén per un número amb coma.

Vegem què volem dir amb el següent exemple:

Exemple

El nombre racional $\frac{1}{2}$ es pot escriure com $0, 5$ .

I llavors llegim zero coma cinc en lloc d'un mig.

Aquesta expressió és útil si ens estem referint, per exemple a un preu o longitud, on cal fer-se una idea del valor del nombre racional.

Aquesta expressió en base decimal no pot ser sempre acurada perquè per exemple $\frac{1}{3} = 0, 33333 \dots$ i hauríem d'escriure infinits $3$ , el que ens portaria massa temps. En aquest cas direm que el resultat és zero coma tres periòdic.

Sempre que diguem periòdic ens referirem a que el nombre ha de ser repetit infinites vegades.

L'escrivim posant una barra damunt del nombre periòdic.

En el nostre exemple $\frac{1}{3} = 0, \hat{3}$ .

El període no té per què involucrar tots els números darrere de la coma. El període també pot ser un nombre de més d'una xifra. Per exemple: $\frac{1}{55} = 0, 018181818 \dots = 0, 0 \hat{18}$

En aquest cas el període és $18$ i el zero no pertany a ell. Hauríem de llegir zero coma zero amb divuit periòdic.

Donat un número amb període podem recuperar l'expressió com a quocient utilitzant el següent procediment.

Sigui $a$ el número corresponent a treure la coma de l'expressió i treure tots els números del període. Sigui $b$ el número corresponent a afegir per la dreta els dígits del període al nombre $a$ . Posem també que la part decimal no corresponent al període té $m$ xifres i el període tingui $n$ xifres. Llavors la nostra expressió decimal correspon al quocient de $b - a$ pel nombre amb $n$ nous seguit de $m$ zeros.

És més senzill veure alguns exemples. Veiem com les expressions donades en els exemples anteriors corresponen al nombre racional.

Exemple

Per a l'expressió $0, \hat{3}$ , segons la nostra notació: $a = 0, b = 3, m = 0$ i $n = 1$ . I correspon al quocient

$\frac{b - a}{9} = \frac{3 - 0}{9} = \frac{1}{3}$

com ja sabíem.

Exemple

Per a l'expressió $0, 0 \hat{18}$ , segons la nostra notació: $a = 0, b = 018, m = 1$ i $n = 2$ . I correspon al quocient

$\frac{b - a}{990} = \frac{18 - 0}{990} = \frac{1}{55}$

com ja sabíem.

Exemple

Per a l'expressió $0, 12 \hat{34}$ , segons la nostra notació: $a = 12, b = 1234, m = 2$ i $n = 2$ . I correspon al quocient

$\frac{b - a}{9900} = \frac{1234 - 12}{9900} = \frac{611}{4950}$

Podem comprovar que l'expressió decimal correspon a l'expressió inicial.

Per tant, podem pensar els nombres racionals a través de la seva expressió decimal. I aquesta expressió decimal no és més que una seqüència de dígits. Hem vist que els nombre racionals corresponen amb les seqüències de dígits que acaben sent periòdiques.