Estructura algebraica per a la suma i el producte de números racionals

Les operacions de suma i multiplicació tenen les següents propietats:

Per a la suma:

1. Propietat associativa de la suma: donats tres nombres racionals qualssevol $a,b$ i $c$, es compleix: $$a+(b+c)=(a+b)+c$$

2. Propietat commutativa: per a tot parell de nombres racionals $a$ i $b$ es compleix: $$a+b=b+a$$

3. Element neutre: existeix un nombre racional, el $0$, que sumat a qualsevol altre nombre real $a$, dóna $a$ com a resultat: $$a+0=a$$

4. Element oposat: per a tot nombre racional $a$ existeix un altre nombre racional, que denotem $-a$, que al sumar-los ens donen el neutre $0$ com a resultat. Anomenarem $-a$ a l'element oposat de $a$.

Totes aquestes propietats, es resumeixen dient que el conjunt $\mathbb{Q}$ és un grup commutatiu o grup abelià amb l'operació $+$.

Per a la multiplicació:

1. Propietat associativa: donats tres nombres racionals qualssevol $a,b$ i $c$, es compleix: $$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$$

2. Propietat commutativa: per a tot parell de nombres racionals $a$ i $b$ es compleix: $$a\cdot b=b\cdot a$$

3. Element unitat: existeix un nombre racional, l'$1$, que multiplicat per qualsevol altre nombre real $a$, dóna $a$ com a resultat: $$1\cdot a=a$$

4. Element invers: per a tot nombre racional $a$ existeix un altre nombre real, que denotem $a^{-1}$, o bé ${\displaystyle \frac{1}{a}}$, que al multiplicar-los donen la unitat $1$ com a resultat.

Observem que totes aquestes propietats també ens defineixen el conjunt de nombres racionals com un grup abelià amb l'operació $\cdot$.

Existeix també una última propietat que relaciona la suma i el producte de nombres racionals:

• Propietat distributiva del producte respecte de la suma: donats tres nombres racionals qualssevol $a,b$ i $c$, es compleix que: $$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$ Aquesta propietat, juntament amb totes les de la suma i totes les del producte defineixen als nombres racionals com una estructura que anomenem cos commutatiu amb unitat.