Les operacions de suma i multiplicació tenen les següents propietats:
Per a la suma:
-
Propietat associativa de la suma: donats tres nombres racionals qualssevol $$a,b$$ i $$c$$, es compleix: $$$a+(b+c)=(a+b)+c$$$
-
Propietat commutativa: per a tot parell de nombres racionals $$a$$ i $$b$$ es compleix: $$$a+b=b+a$$$
-
Element neutre: existeix un nombre racional, el $$0$$, que sumat a qualsevol altre nombre real $$a$$, dóna $$a$$ com a resultat: $$$a+0=a$$$
- Element oposat: per a tot nombre racional $$a$$ existeix un altre nombre racional, que denotem $$-a$$, que al sumar-los ens donen el neutre $$0$$ com a resultat. Anomenarem $$-a$$ a l'element oposat de $$a$$.
Totes aquestes propietats, es resumeixen dient que el conjunt $$\mathbb{Q}$$ és un grup commutatiu o grup abelià amb l'operació $$+$$.
Per a la multiplicació:
-
Propietat associativa: donats tres nombres racionals qualssevol $$a,b$$ i $$c$$, es compleix: $$$a\cdot(b\cdot c)=(a \cdot b) \cdot c$$$
-
Propietat commutativa: per a tot parell de nombres racionals $$a$$ i $$b$$ es compleix: $$$a \cdot b=b \cdot a$$$
-
Element unitat: existeix un nombre racional, l'$$1$$, que multiplicat per qualsevol altre nombre real $$a$$, dóna $$a$$ com a resultat: $$$1 \cdot a=a$$$
- Element invers: per a tot nombre racional $$a$$ existeix un altre nombre real, que denotem $$a^{-1}$$, o bé $$\dfrac{1}{a}$$, que al multiplicar-los donen la unitat $$1$$ com a resultat.
Observem que totes aquestes propietats també ens defineixen el conjunt de nombres racionals com un grup abelià amb l'operació $$\cdot$$.
Existeix també una última propietat que relaciona la suma i el producte de nombres racionals:
- Propietat distributiva del producte respecte de la suma: donats tres nombres racionals qualssevol $$a,b$$ i $$c$$, es compleix que: $$$a\cdot (b+c)=a\cdot b + a \cdot c$$$ Aquesta propietat, juntament amb totes les de la suma i totes les del producte defineixen als nombres racionals com una estructura que anomenem cos commutatiu amb unitat.