Estructura algebraica para la suma y el producto de números racionales

Las operaciones de suma y multiplicación tiene las siguientes propiedades.

Para la suma:

1. Propiedad asociativa de la suma: dados tres números racionales cualesquiera $a,b$ y $c$, se cumple: $$a+(b+c)=(a+b)+c$$

2. Propiedad conmutativa: para todo par de números racionales $a$ y $b$ se cumple: $$a+b=b+a$$

3. Elemento neutro: existe un número racional, el $0$, que sumado a cualquier otro número real $a$, da $a$ como resultado: $$a+0=a$$

4. Elemento opuesto: para todo número racional $a$ existe otro número racional, que denotamos $-a$, que al sumarlos nos dan el neutro $0$ como resultado. Llamamos a $-a$ elemento opuesto de $a$.

Todas estas propiedades, se resumen diciendo que el conjunto $\mathbb{Q}$ es un grupo conmutativo o grupo abeliano con la operación $+$.

Para la multiplicación:

1. Propiedad asociativa: dados tres números racionales cualesquiera $a,b$ y $c$, se cumple: $$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$$

2. Propiedad conmutativa: Para todo par de números racionales $a$ y $b$ se cumple: $$a\cdot b=b\cdot a$$

3. Elemento unidad: existe un número racional, el $1$, que multiplicarlo a cualquier otro número real $a$, da $a$ como resultado: $$1\cdot a=a$$

4. Elemento inverso: para todo número racional $a$ existe otro número real, que denotamos $a^{-1}$, o bien ${\displaystyle \frac{1}{a}}$, que al multiplicarlos nos dan la unidad $1$ como resultado.

Observemos que todas estas propiedades, también nos definen el conjunto de números racionales como un grupo abeliano con la operación $\cdot$.

Existe también una última propiedad que relaciona la suma y el producto de números racionales:

• Propiedad distributiva del producto respecto de la suma: dados tres números racionales cualesquiera $a,b$ y $c$, se cumple que: $$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$ Esta propiedad, junto con todas las de la suma y todas las del producto definen a los números racionales como una estructura que denominamos cuerpo conmutativo con unidad.