Exercicis de Definició, expressió analítica i propietats del producte escalar

Calcula un vector $\vec{v}$ que sigui ortogonal (perpendicular) al vector $\vec{u} = (2, - 4)$ .

Desenvolupament:

Volem trobar un vector $\vec{v} = (v_{1}, v_{2})$ tal que $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = 0$ , ja que és la condició de perpendicularitat que coneixem. Per tant, tenim: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot v_{1} + (- 4) \cdot v_{2} = 0 \Rightarrow v_{1} = - 2 v_{2}$

Per tant, qualsevol vector que la seva primera component sigui el doble de la segona component en negatiu servirà. Per exemple $\vec{v} = (v_{1}, v_{2}) = (- 2, 1)$ . Donant qualsevol valor a $v_{1}$ n'obtenim un per $v_{2}$ . Altres exemples serien:

$\vec{v} = (v_{1}, v_{2}) = (- 4, 2)$

$\vec{v} = (v_{1}, v_{2}) = (- 6, 3)$

$\vec{v} = (v_{1}, v_{2}) = (- 1, \frac{1}{2})$

Solució:

Qualsevol vector que la seva primera component sigui el doble de la segona component en negatiu servirà.

Amagar desenvolupament i solució

Determina el producte escalar de $\vec{u}$ i $\vec{v}$ coneixent:

$| \vec{u} | = 3$ , $| \vec{v} | = 2$ , $ang (\hat{u v}) = 60^{\circ}$
$| \vec{u} | = 5$ , $| \vec{v} | = 2$ , $\cos (\hat{u v}) = \frac{1}{2}$
$| \vec{u} | = 1$ , $| \vec{v} | = 3$ , $ang (\hat{u v}) = 30^{\circ}$

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Utilitzem la definició del producte escalar: $\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | | \vec{v} | \cos (\hat{u v})$

En aquest cas si $| \vec{u} | = 3$ , $| \vec{v} | = 2$ i $ang (\hat{u v}) = 60^{\circ}$ el cosinus de $60^{\circ}$ és $\frac{1}{2}$ . Així, $\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | | \vec{v} | \cos (\hat{u v}) = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$
En aquest cas si $| \vec{u} | = 5$ , $| \vec{v} | = 2$ i $\cos (\hat{u v}) = \frac{1}{2}$ ja ens donen el cosinus directament així que tenim: $\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | | \vec{v} | \cos (\hat{u v}) = 5 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 5$
En aquest cas si $| \vec{u} | = 1$ , $| \vec{v} | = 3$ i $ang (\hat{u v}) = 30^{\circ}$ el cosinus de $30^{\circ}$ és $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Així, $\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | | \vec{v} | \cos (\hat{u v}) = 1 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Solució:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 5$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Amagar desenvolupament i solució

Determina el producte escalar de $\vec{u}$ i $\vec{v}$ :

$\vec{u} = (1, 2)$ , $\vec{v} = (3, - 2)$
$\vec{u} = (1, 0)$ , $\vec{v} = (0, - 2)$
$\vec{u} = (- 1, 2)$ , $\vec{v} = (3, 0)$

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

Utilitzem l'expressió analítica del producte escalar: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$ .

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = 1 \cdot 3 + (- 2) \cdot 2 = - 1$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot (- 2) = 0$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = (- 1) \cdot 3 + 2 \cdot 0 = - 3$

Solució:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 1$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 3$

Amagar desenvolupament i solució

Veure teoria