Ejercicios de Definición, expresión analítica y propiedades del producto escalar

Calcula un vector $\vec{v}$ que sea ortogonal que sea ortogonal (perpendicular) al vector $\vec{u} = (2, - 4)$ .

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Desarrollo:

Queremos hallar un vector $\vec{v} = (v_{1}, v_{2})$ tal que $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = 0$ , ya que es la condición de perpendicularidad que conocemos. Por lo tanto, tenemos: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot v_{1} + (- 4) \cdot v_{2} = 0 \Rightarrow v_{1} = - 2 v_{2}$

De manera que cualquier vector que su primera componente sea el doble de la segunda componente en negativo servirá. Por ejemplo $\vec{v} = (v_{1}, v_{2}) = (- 2, 1)$ . Dando cualquier valor a $v_{1}$ obtenemos $v_{2}$ . Otros ejemplos serían:

$\vec{v} = (v_{1}, v_{2}) = (- 4, 2)$

$\vec{v} = (v_{1}, v_{2}) = (- 6, 3)$

$\vec{v} = (v_{1}, v_{2}) = (- 1, \frac{1}{2})$

Solución:

Cualquier vector que su primera componente sea el doble de la segunda componente en negativo servirá.

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Determina el producto escalar de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ :

$\vec{u} = (1, 2)$ , $\vec{v} = (3, - 2)$
$\vec{u} = (1, 0)$ , $\vec{v} = (0, - 2)$
$\vec{u} = (- 1, 2)$ , $\vec{v} = (3, 0)$

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Desarrollo:

Usamos la expresión analítica del producto escalar: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$ .

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = 1 \cdot 3 + (- 2) \cdot 2 = - 1$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot (- 2) = 0$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = (- 1) \cdot 3 + 2 \cdot 0 = - 3$

Solución:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 1$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 3$

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Determina el producto escalar de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ conociendo:

$| \vec{u} | = 3$ , $| \vec{v} | = 2$ , $ang (\hat{u v}) = 60^{\circ}$
$| \vec{u} | = 5$ , $| \vec{v} | = 2$ , $\cos (\hat{u v}) = \frac{1}{2}$
$| \vec{u} | = 1$ , $| \vec{v} | = 3$ , $ang (\hat{u v}) = 30^{\circ}$

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Desarrollo:

Usamos la definición del producto escalar: $\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | | \vec{v} | \cos (\hat{u v})$

En este caso si $| \vec{u} | = 3$ , $| \vec{v} | = 2$ y $ang (\hat{u v}) = 60^{\circ}$ el coseno de $60^{\circ}$ es $\frac{1}{2}$ . Así pues, $\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | | \vec{v} | \cos (\hat{u v}) = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$
En este caso si $| \vec{u} | = 5$ , $| \vec{v} | = 2$ y $\cos (\hat{u v}) = \frac{1}{2}$ ya nos dan el coseno directamente así que tenemos: $\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | | \vec{v} | \cos (\hat{u v}) = 5 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 5$
En este caso si $| \vec{u} | = 1$ , $| \vec{v} | = 3$ y $ang (\hat{u v}) = 30^{\circ}$ el coseno de $30^{\circ}$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Así, $\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | | \vec{v} | \cos (\hat{u v}) = 1 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Solución:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 5$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$

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