Exercicis de Definició i terme general d'una successió

Desenvolupament:

a) $$a_1=(-1{)}^1(1+2)=-1\cdot 3=-3$$ $$a_2=(-1{)}^2(2+2)=+1\cdot 4=4$$ $$a_3=(-1{)}^3(3+2)=-1\cdot 5=-5$$ $$a_4=(-1{)}^4(4+2)=+1\cdot 6=6$$ $$a_5=(-1{)}^5(5+2)=-1\cdot 7=-7$$

b) $$b_1={\displaystyle \frac{(1+1)(1-1)}{2\cdot 1^2}}={\displaystyle \frac{1\cdot 0}{2}}=0$$ $$b_2={\displaystyle \frac{(2+1)(2-1)}{2\cdot 2^2}}={\displaystyle \frac{3\cdot 1}{8}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$$ $$b_3={\displaystyle \frac{(3+1)(3-1)}{2\cdot 3^2}}={\displaystyle \frac{4\cdot 2}{18}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$$ $$b_4={\displaystyle \frac{(4+1)(4-1)}{2\cdot 4^2}}={\displaystyle \frac{5\cdot 3}{32}}={\displaystyle \frac{15}{32}}$$ $$b_5={\displaystyle \frac{(5+1)(5-1)}{2\cdot 5^2}}={\displaystyle \frac{6\cdot 4}{50}}={\displaystyle \frac{12}{25}}$$

c) $$c_1=3\cdot 1^2-12=3-12=-9$$ $$c_2=3\cdot 2^2-12=12-12=0$$ $$c_3=3\cdot 3^2-12=27-12=15$$ $$c_4=3\cdot 4^2-12=48-12=36$$ $$c_5=3\cdot 5^2-12=75-12=63$$

d) $$d_0=0$$ $$d_1=1$$ $$d_2=d_1+d_0=1+1=2$$ $$d_3=d_2+d_1=2+1=3$$ $$d_4=d_3+d_2=3+2=5$$ $$d_5=d_4+d_3=5+3=8$$ $$d_6=d_5+d_4=8+5=13$$

Solució:

a) $a_n=(-3,4,-5,6,-7,\dots )$

b) $b_n=(0,{\displaystyle \frac{3}{8}},{\displaystyle \frac{4}{9}},{\displaystyle \frac{15}{32}},{\displaystyle \frac{12}{25}},\dots )$

c) $c_n=(-9,0,15,36,63,\dots )$

d) $d_n=(0,1,2,3,5,\dots )$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) Si relacionem cada terme amb la posició que ocupa: $$a:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$$ $$1\to 1$$ $$2\to 4$$ $$3\to 9$$ $$4\to 16$$ $$\dots$$

Si ens fixem en el primer terme, veiem que aquest no s'ha modificat, i no obtenim informació. Però si ens fixem en el segon terme, veiem que $a_2$ és el doble de $2$, $a_3$ és el triple de $3$, i $a_4$ és el resultat de $4\cdot 4$, és a dir que per aconseguir cada terme, s'ha multiplicat la posició del terme per ell mateix, és a dir, l'hem elevat al quadrat: $$a_1=1^2=1,a_2=2^2=4,a_3=3^2=9,a_4=4^2=16,\dots$$ I el terme general, ens queda: $$a_n=(n^2{)}_{n\in \mathbb{N}}$$

b) Definirem aquesta successió de forma recursiva. D'una banda observem que cada terme canvia de signe el comparació a l'anterior, i d'altra banda, es veu que cada terme és el doble que l'anterior, així que tenim: $$a_{n+1}=-2\cdot a_n$$, i com que $a_1=-2$, ja tenim definida la successió. (També es pot donar el terme general $a_n=(-2{)}^n$ pensant en les progressions.)

Solució:

a) $a_n=(n^2{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

b) $a_{n+1}=-2\cdot a_n$, amb $a_1=-2$.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) El nombre $25$ pertanyerà a la successió si hi ha un nombre natural $n$ tal que $a_n=25$. Com que $a_n=3n+4$, eeemplaçant una igualtat en l'altra tenim: $$25=3n+4$$ $$3n=21$$ $$n=7$$

Així que, no només veiem que pertany a la successió, sinó que hem trobat quina posició ocupa.

b) Procedirem de la mateixa manera que en el cas anterior: $$\begin{array}{c}{c}_n={\displaystyle \frac{9}{5}}\\ c_n={\displaystyle \frac{n^2}{n+1}}\end{array}\}\Rightarrow {\displaystyle \frac{9}{5}}={\displaystyle \frac{n^2}{n+1}}\Rightarrow 9(n+1)=5n^2$$

Així que només ens queda resoldre l'equació de segon grau:

$$5n^2-9n-1=0\Rightarrow n={\displaystyle \frac{9\pm 3\sqrt{5}}{10}}$$ En no obtenir cap valor de $n$ enter, el número ${\displaystyle \frac{9}{5}}$ no forma part de la successió (no pot ocupar una posició irracional!).

Solució:

a) $a_7=25$

b) No pertany a la successió.

Amagar desenvolupament i solució