Ejercicios de Definición y término general de una sucesión

Desarrollo:

a) Si relacionamos cada término con la posición que ocupa: $$a:\mathbb{N}\to \mathbb{R}$$ $$1\to 1$$ $$2\to 4$$ $$3\to 9$$ $$4\to 16$$ $$\dots$$

Si nos fijamos en el primer término, vemos que este no se ha modificado, y no obtenemos información. Pero si nos fijamos en el segundo término, vemos que $a_2$ es el doble que $2$, $a_3$ es el triple de $3$, y $a_4$ es el resultado de $4\cdot 4$, es decir que para conseguir cada término, se ha multiplicado la posición del término por él mismo, es decir, lo hemos elevado al cuadrado: $$a_1=1^2=1,a_2=2^2=4,a_3=3^2=9,a_4=4^2=16,\dots$$ Y el término general, nos queda: $$a_n=(n^2{)}_{n\in \mathbb{N}}$$

b) Definiremos esta sucesión de forma recursiva. Por un lado observamos que cada término cambia de signo el comparación al anterior, y por otro lado, se ve que cada término es el doble que el anterior, así que tenemos: $$a_{n+1}=-2\cdot a_n$$, y como que $a_1=-2$, ya tenemos definida la sucesión. (También se puede dar el término general $a_n=(-2{)}^n$ pensando en las progresiones.)

Solución:

a) $a_n=(n^2{)}_{n\in \mathbb{N}}$.

b) $a_{n+1}=-2\cdot a_n$, con $a_1=-2$.

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Desarrollo:

a) El número $25$ pertenecerá a la sucesión si existe un numero natural $n$ tal que $a_n=25$. Como que $a_n=3n+4$, reemplazando una igualdad en la otra tenemos que: $$25=3n+4$$ $$3n=21$$ $$n=7$$

Así que, no solo vemos que pertenece a la sucesión, sino que hemos encontrado qué posición ocupa.

b) Procederemos de la misma forma que en el caso anterior: $$\begin{array}{c}{c}_n={\displaystyle \frac{9}{5}}\\ c_n={\displaystyle \frac{n^2}{n+1}}\end{array}\}\Rightarrow {\displaystyle \frac{9}{5}}={\displaystyle \frac{n^2}{n+1}}\Rightarrow 9(n+1)=5n^2$$

Así que solo nos queda resolver la ecuación de segundo grado:

$$5n^2-9n-1=0\Rightarrow n={\displaystyle \frac{9\pm 3\sqrt{5}}{10}}$$ Al no obtener ningún valor de $n$ entero, el número ${\displaystyle \frac{9}{5}}$ no forma parte de la sucesión (no puede ocupar una posición irracional!).

Solución:

a) $a_7=25$

b) No pertenece a la sucesión.

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Desarrollo:

a) $$a_1=(-1{)}^1(1+2)=-1\cdot 3=-3$$ $$a_2=(-1{)}^2(2+2)=+1\cdot 4=4$$ $$a_3=(-1{)}^3(3+2)=-1\cdot 5=-5$$ $$a_4=(-1{)}^4(4+2)=+1\cdot 6=6$$ $$a_5=(-1{)}^5(5+2)=-1\cdot 7=-7$$

b) $$b_1={\displaystyle \frac{(1+1)(1-1)}{2\cdot 1^2}}={\displaystyle \frac{1\cdot 0}{2}}=0$$ $$b_2={\displaystyle \frac{(2+1)(2-1)}{2\cdot 2^2}}={\displaystyle \frac{3\cdot 1}{8}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$$ $$b_3={\displaystyle \frac{(3+1)(3-1)}{2\cdot 3^2}}={\displaystyle \frac{4\cdot 2}{18}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$$ $$b_4={\displaystyle \frac{(4+1)(4-1)}{2\cdot 4^2}}={\displaystyle \frac{5\cdot 3}{32}}={\displaystyle \frac{15}{32}}$$ $$b_5={\displaystyle \frac{(5+1)(5-1)}{2\cdot 5^2}}={\displaystyle \frac{6\cdot 4}{50}}={\displaystyle \frac{12}{25}}$$

c) $$c_1=3\cdot 1^2-12=3-12=-9$$ $$c_2=3\cdot 2^2-12=12-12=0$$ $$c_3=3\cdot 3^2-12=27-12=15$$ $$c_4=3\cdot 4^2-12=48-12=36$$ $$c_5=3\cdot 5^2-12=75-12=63$$

d) $$d_0=0$$ $$d_1=1$$ $$d_2=d_1+d_0=1+1=2$$ $$d_3=d_2+d_1=2+1=3$$ $$d_4=d_3+d_2=3+2=5$$ $$d_5=d_4+d_3=5+3=8$$ $$d_6=d_5+d_4=8+5=13$$

Solución:

a) $a_n=(-3,4,-5,6,-7,\dots )$

b) $b_n=(0,{\displaystyle \frac{3}{8}},{\displaystyle \frac{4}{9}},{\displaystyle \frac{15}{32}},{\displaystyle \frac{12}{25}},\dots )$

c) $c_n=(-9,0,15,36,63,\dots )$

d) $d_n=(0,1,2,3,5,\dots )$

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