Exercicis de Derivada de funcions exponencial, logarítmica i del tipus a elevat a x

Combinant funcions elementals i regles de derivació que coneixes crea noves funcions (almenys $$3$$) i deriva:

a) $$f(x)=2x^3\tan(x)+\cos(x) \cdot e^x$$

b) $$f(x)=e^x \ln(x)-(5x^2-x^3) \cdot \cos(x)$$

c)$$f(x)=x^3$$ (utilitzar la regla del producte obligatòriament)

Veure desenvolupament i solució

Desenvolupament:

a) Identifico les dues funcions que es sumen: $$2x^3\tan(x)$$ i $$\cos(x)e^x$$

Regla de la suma: he de sumar la derivada d'aquestes dues funcions.

Regla del producte: per calcular la derivada de les dues funcions utilitzo la regla del producte.

Derivem per passos:

$$2x^3\tan(x) \Rightarrow 6x^2\tan(x)+2x^3\dfrac{1}{\cos^2(x)}$$

$$\cos(x)e^x \Rightarrow -\sin(x)e^x+\cos(x)e^x=e^x(\cos(x)-\sin(x))$$

Per tant,

$$$f'(x)=6x^2\tan(x)+2x^3\dfrac{1}{\cos^2(x)}+e^x(\cos(x)-\sin(x))$$$

b) Hem de derivar els dos sumands i després sumar

$$e^x\ln(x) \Rightarrow e^x\ln(x)+e^x\dfrac{1}{x}$$

$$(5x^2-x^3)\cos(x) \Rightarrow (10x-3x^2)\cos(x)+(5x^2-x^3)(-sin(x))$$

Per tant,

$$$f'(x)=e^x(\ln(x)+\dfrac{1}{x})-(10x-3x^2)\cos(x)+(5x^2-x^3)\sin(x)$$$

c) Hem d'obtenir $$x^3$$ com a producte de dues funcions: $$f(x)=g(x) h(x)$$

Identifico $$g(x)=x$$ i $$h(x)=x^2$$

Utilitzant la regla del producte: $$$f(x)=x\cdot x^2 \Rightarrow f'(x)=1\cdot x^2+x\cdot 2x=3x^2$$$

Solució:

a) $$f'(x)=6x^2\tan(x)+2x^3\dfrac{1}{\cos^2(x)}+e^x(\cos(x)-\sin(x))$$

b) $$f'(x)=e^x(\ln(x)+\dfrac{1}{x})-(10x-3x^2)\cos(x)+(5x^2-x^3)\sin(x)$$

c) $$f'(x)=3x^2$$

Amagar desenvolupament i solució
Veure teoria