Combinant funcions elementals i regles de derivació que coneixes crea noves funcions (almenys $$3$$) i deriva:
a) $$f(x)=2x^3\tan(x)+\cos(x) \cdot e^x$$
b) $$f(x)=e^x \ln(x)-(5x^2-x^3) \cdot \cos(x)$$
c)$$f(x)=x^3$$ (utilitzar la regla del producte obligatòriament)
Desenvolupament:
a) Identifico les dues funcions que es sumen: $$2x^3\tan(x)$$ i $$\cos(x)e^x$$
Regla de la suma: he de sumar la derivada d'aquestes dues funcions.
Regla del producte: per calcular la derivada de les dues funcions utilitzo la regla del producte.
Derivem per passos:
$$2x^3\tan(x) \Rightarrow 6x^2\tan(x)+2x^3\dfrac{1}{\cos^2(x)}$$
$$\cos(x)e^x \Rightarrow -\sin(x)e^x+\cos(x)e^x=e^x(\cos(x)-\sin(x))$$
Per tant,
$$$f'(x)=6x^2\tan(x)+2x^3\dfrac{1}{\cos^2(x)}+e^x(\cos(x)-\sin(x))$$$
b) Hem de derivar els dos sumands i després sumar
$$e^x\ln(x) \Rightarrow e^x\ln(x)+e^x\dfrac{1}{x}$$
$$(5x^2-x^3)\cos(x) \Rightarrow (10x-3x^2)\cos(x)+(5x^2-x^3)(-sin(x))$$
Per tant,
$$$f'(x)=e^x(\ln(x)+\dfrac{1}{x})-(10x-3x^2)\cos(x)+(5x^2-x^3)\sin(x)$$$
c) Hem d'obtenir $$x^3$$ com a producte de dues funcions: $$f(x)=g(x) h(x)$$
Identifico $$g(x)=x$$ i $$h(x)=x^2$$
Utilitzant la regla del producte: $$$f(x)=x\cdot x^2 \Rightarrow f'(x)=1\cdot x^2+x\cdot 2x=3x^2$$$
Solució:
a) $$f'(x)=6x^2\tan(x)+2x^3\dfrac{1}{\cos^2(x)}+e^x(\cos(x)-\sin(x))$$
b) $$f'(x)=e^x(\ln(x)+\dfrac{1}{x})-(10x-3x^2)\cos(x)+(5x^2-x^3)\sin(x)$$
c) $$f'(x)=3x^2$$