Exercicis de Derivada de funcions exponencial, logarítmica i del tipus a elevat a x

Combinant funcions elementals i regles de derivació que coneixes crea noves funcions (almenys $3$ ) i deriva:

a) $f (x) = 2 x^{3} \tan (x) + \cos (x) \cdot e^{x}$

b) $f (x) = e^{x} \ln (x) - (5 x^{2} - x^{3}) \cdot \cos (x)$

c) $f (x) = x^{3}$ (utilitzar la regla del producte obligatòriament)

Veure desenvolupament i solució

a) Identifico les dues funcions que es sumen: $2 x^{3} \tan (x)$ i $\cos (x) e^{x}$

Regla de la suma: he de sumar la derivada d'aquestes dues funcions.

Regla del producte: per calcular la derivada de les dues funcions utilitzo la regla del producte.

Derivem per passos:

$2 x^{3} \tan (x) \Rightarrow 6 x^{2} \tan (x) + 2 x^{3} \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

$\cos (x) e^{x} \Rightarrow - \sin (x) e^{x} + \cos (x) e^{x} = e^{x} (\cos (x) - \sin (x))$

Per tant,

$f^{'} (x) = 6 x^{2} \tan (x) + 2 x^{3} \frac{1}{\cos^{2} (x)} + e^{x} (\cos (x) - \sin (x))$

b) Hem de derivar els dos sumands i després sumar

$e^{x} \ln (x) \Rightarrow e^{x} \ln (x) + e^{x} \frac{1}{x}$

$(5 x^{2} - x^{3}) \cos (x) \Rightarrow (10 x - 3 x^{2}) \cos (x) + (5 x^{2} - x^{3}) (- s i n (x))$

Per tant,

$f^{'} (x) = e^{x} (\ln (x) + \frac{1}{x}) - (10 x - 3 x^{2}) \cos (x) + (5 x^{2} - x^{3}) \sin (x)$

c) Hem d'obtenir $x^{3}$ com a producte de dues funcions: $f (x) = g (x) h (x)$

Identifico $g (x) = x$ i $h (x) = x^{2}$

Utilitzant la regla del producte: $f (x) = x \cdot x^{2} \Rightarrow f^{'} (x) = 1 \cdot x^{2} + x \cdot 2 x = 3 x^{2}$

a) $f^{'} (x) = 6 x^{2} \tan (x) + 2 x^{3} \frac{1}{\cos^{2} (x)} + e^{x} (\cos (x) - \sin (x))$

b) $f^{'} (x) = e^{x} (\ln (x) + \frac{1}{x}) - (10 x - 3 x^{2}) \cos (x) + (5 x^{2} - x^{3}) \sin (x)$

c) $f^{'} (x) = 3 x^{2}$

Amagar desenvolupament i solució