Ejercicios de Derivada de funciones exponencial, logarítmica y del tipo a elevado a x

Combinando funciones elementales y reglas de derivación que conoces crea nuevas funciones (almenos $3$ ) y deriva:

a) $f (x) = 2 x^{3} \tan (x) + \cos (x) \cdot e^{x}$

b) $f (x) = e^{x} \ln (x) - (5 x^{2} - x^{3}) \cdot \cos (x)$

c) $f (x) = x^{3}$ (utilizar la regla del producto obligatoriamente)

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a) Identifico las dos funciones que se suman: $2 x^{3} \tan (x)$ y $\cos (x) e^{x}$

Regla de la suma: debo sumar la derivada de estas dos funciones.

Regla del producto: para calcular la derivada de las dos funciones utilizo la regla del producto.

Derivemos por pasos:

$2 x^{3} \tan (x) \Rightarrow 6 x^{2} \tan (x) + 2 x^{3} \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

$\cos (x) e^{x} \Rightarrow - \sin (x) e^{x} + \cos (x) e^{x} = e^{x} (\cos (x) - \sin (x))$

Por lo tanto,

$f^{'} (x) = 6 x^{2} \tan (x) + 2 x^{3} \frac{1}{\cos^{2} (x)} + e^{x} (\cos (x) - \sin (x))$

b) Debemos derivar los dos sumandos y luego sumar

$e^{x} \ln (x) \Rightarrow e^{x} \ln (x) + e^{x} \frac{1}{x}$

$(5 x^{2} - x^{3}) \cos (x) \Rightarrow (10 x - 3 x^{2}) \cos (x) + (5 x^{2} - x^{3}) (- s i n (x))$

Por lo tanto,

$f^{'} (x) = e^{x} (\ln (x) + \frac{1}{x}) - (10 x - 3 x^{2}) \cos (x) + (5 x^{2} - x^{3}) \sin (x)$

c) Debemos obtener $x^{3}$ como producto de dos funciones: $f (x) = g (x) h (x)$

Identifico $g (x) = x$ y $h (x) = x^{2}$

Utilizamos la regla del producto: $f (x) = x \cdot x^{2} \Rightarrow f^{'} (x) = 1 \cdot x^{2} + x \cdot 2 x = 3 x^{2}$

a) $f^{'} (x) = 6 x^{2} \tan (x) + 2 x^{3} \frac{1}{\cos^{2} (x)} + e^{x} (\cos (x) - \sin (x))$

b) $f^{'} (x) = e^{x} (\ln (x) + \frac{1}{x}) - (10 x - 3 x^{2}) \cos (x) + (5 x^{2} - x^{3}) \sin (x)$

c) $f^{'} (x) = 3 x^{2}$

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