Exercicis de Derivada de la composició de funcions (regla de la cadena)

Desenvolupament:

Primer hem d'identificar les diferents funcions elementals, de manera que haurem d'utilitzar la regla del quocient $$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{[10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (3x+1){]}^{\prime }\cdot \ln (x)-[10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (3x+1)]{\displaystyle \frac{1}{x}}}{\ln (x{)}^2}}$$

Haurem de derivar la següent expressió utilitzant la regla del producte:

$[10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (3x+1){]}^{\prime }=[10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}{]}^{\prime }\cos (3x+1)+10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}[\cos (3x+1){]}^{\prime }$

Seguim buscant les derivades que necessitem, utilitzant ara la regla de la cadena:

$[10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}{]}^{\prime }=10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (\sqrt[5]{x^2}){\displaystyle \frac{2}{5}}{x}^{-3/5}={\displaystyle \frac{4e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (\sqrt[5]{x^2})}{\sqrt[5]{x^3}}}$

$[\cos (3x+1){]}^{\prime }=-\sin (3x+1)\cdot 3=-3\sin (3x+1)$

Introduint aquests resultats,

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{[{\displaystyle \frac{4e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (\sqrt[5]{x^2})}{\sqrt[5]{x^3}}}\cos (3x+1)-30\sin (3x+1)e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}]\cdot \ln (x)-[10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (3x+1)]{\displaystyle \frac{1}{x}}}{\ln (x{)}^2}}$$

Solució:

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{[{\displaystyle \frac{4e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (\sqrt[5]{x^2})}{\sqrt[5]{x^3}}}\cos (3x+1)-30\sin (3x+1)e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}]\cdot \ln (x)-[10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (3x+1)]{\displaystyle \frac{1}{x}}}{\ln (x{)}^2}}$$

Amagar desenvolupament i solució