Deriva la següent funció (has d'utilitzar en la resolució la regla del producte, la del quocient i la regla de la cadena): $$$f(x)=\frac{10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})} \cos(3x+1)}{\ln x}$$$
Desenvolupament:
Primer hem d'identificar les diferents funcions elementals, de manera que haurem d'utilitzar la regla del quocient $$$f'(x)=\dfrac{[10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(3x+1)]' \cdot\ln(x)-[10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(3x+1)]\dfrac{1}{x}}{\ln(x)^2}$$$
Haurem de derivar la següent expressió utilitzant la regla del producte:
$$[10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(3x+1)]'=[10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}]'\cos(3x+1)+10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}[\cos(3x+1)]'$$
Seguim buscant les derivades que necessitem, utilitzant ara la regla de la cadena:
$$[10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}]'=10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(\sqrt[5]{x^2})\dfrac{2}{5}x^{-3/5}=\dfrac{4e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(\sqrt[5]{x^2}) }{\sqrt[5]{x^3}} $$
$$[\cos(3x+1)]'=-\sin(3x+1)\cdot3=-3\sin(3x+1)$$
Introduint aquests resultats,
$$$f'(x)=\dfrac{[\dfrac{4e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(\sqrt[5]{x^2}) }{\sqrt[5]{x^3}}\cos(3x+1)-30\sin(3x+1)e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}] \cdot\ln(x)-[10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(3x+1)]\dfrac{1}{x}}{\ln(x)^2}$$$
Solució:
$$$f'(x)=\dfrac{[\dfrac{4e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(\sqrt[5]{x^2}) }{\sqrt[5]{x^3}}\cos(3x+1)-30\sin(3x+1)e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}] \cdot\ln(x)-[10e^{\sin(\sqrt[5]{x^2})}\cos(3x+1)]\dfrac{1}{x}}{\ln(x)^2}$$$