Derivada de la composició de funcions (regla de la cadena)

Aquesta és la regla més important i que permetrà derivar qualsevol tipus de funció. Aquesta, per molt complicada que sigui, sempre podrà reduir-se a les funcions elementals estudiades fins al moment mitjançant la seva composició.

Exemple

$f (x) = \sin (a x + b)$ és una composició de les funcions elementals $g (x) = \sin x$ i $h (x) = a x + b$ .

La composició de funcions ens diu que $f (x) = g (h (x))$ o, en una altra notació, $f = h \circ g$ . Podríem lògicament fer composicions de tres funcions diferents, o de quatre, o de totes les funcions vulguem.

En la següent taula es presenten diverses funcions construïdes a partir de la composició de funcions elementals i les seves derivades.

Observa atentament i intenta deduir ara l'anomenada regla de la cadena:

$f (x)$	$f^{'} (x)$
$\sin 2 x$	$\cos 2 x \cdot 2$
$e^{x^{2}}$	$e^{x^{2}} \cdot 2 x$
$(x^{3} + x)^{\frac{1}{2}}$	$\frac{1}{2} (x^{3} + x)^{- \frac{1}{2}} \cdot (3 x^{2} + 1)$
$\ln x^{2}$	$\frac{1}{x^{2}} \cdot 2 x$
$g (h (x))$	?

Si ho has aconseguit, felicitats! Comprova el teu resultat i avança als exemples. Si no has pogut deduir la regla de la cadena mira de què es tracta i aplica-la de nou a les funcions de la taula per comprovar els resultats.

Regla de la cadena

$f (x) = g (h (x)) \Rightarrow f^{'} (x) = g^{'} h ((x)) \cdot h^{'} (x)$

Exemple

Sigui $f (x) = \sin 2 x$ .

Identifiquem $g (x) = \sin x$ i $h (x) = 2 x$ , de tal manera que $f (x) = g (h (x)) = \sin 2 x$ .

Ara podem aplicar la regla de la cadena, $f^{'} (x) = \cos 2 x \cdot 2 = 2 \cos 2 x$

Exemple

Compliquem una mica més les nostres funcions.

Sigui $f (x) = e^{x^{3} + 2 x + 1}$ .

Identifiquem $g (x) = e^{x}$ i $h (x) = x^{3} + 2 x + 1$ .

Apliquem directament la regla de la cadena, $f^{'} (x) = e^{x^{3} + 2 x + 1} \cdot (3 x^{2} + 2)$

Exemple

Seguim complicant-lo $f (x) = \ln (\sin x^{2}))$ .

En aquest cas identifiquem tres funcions:

$g (x) = \ln x h (x) = \sin x t (x) = x^{2}$

La regla de la cadena continua sent vàlida. Anem amb el càlcul:

$f^{'} (x) = \frac{1}{s i n x^{2}} \cdot \cos x^{2} \cdot 2 x = \frac{2 x}{\tan x^{2}}$

Exemple

Vegem, per curiositat, com la regla del quocient és en realitat la mateixa que la del producte si utilitzem la regla de la cadena:

$\frac{f (x)}{g (x)} = f (x) (g (x)^{- 1}$

$(\frac{f (x)}{g (x)})^{'} = f^{'} (x) g (x)^{- 1} + (- 1) f (x) g (x)^{- 2} =$ $= f^{'} (x) g (x)^{- 1} \frac{g (x)}{g (x)} - f (x) g (x)^{- 2} g^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{g^{2} (x)}$

Com es veu, aquesta regla ja sí permetrà derivar qualsevol expressió. El desenvolupament del càlcul pot ser més o menys llarg, doncs la nostra funció pot ser una composició de dos, tres o fins N funcions elementals, però tècnicament no ha de suposar un problema.

Val a dir també que podem barrejar funcions que requereixin la regla de la cadena, la del producte i la del quocient al mateix temps. En aquests casos el càlcul serà enutjós, però tècnicament igual al que hem fet fins ara.

Vegem un exemple difícil:

Exemple

$f (x) = \frac{\ln \sqrt[3]{\sin 2 x}}{x^{2} - 4}$

D'entrada ja es veu que s'ha d'utilitzar la regla del quocient.

Així doncs, $f^{'} (x) = \frac{(\ln \sqrt[3]{\sin 2 x})^{'} \cdot (x^{2} - 4) - \ln (\sqrt[3]{\sin 2 x}) \cdot 2 x}{(x^{2} - 4)^{2}}$

Ara s'ha d'utilitzar la regla de la cadena per a derivar el numerador $(\ln \sqrt[3]{\sin 2 x})^{'} = \frac{1}{\sqrt[3]{\sin 2 x}} \cdot (\frac{1}{3} \sin^{2 / 3} 2 x) \cdot \cos 2 x \cdot 2 = \frac{2 \cos 2 x}{3 \sqrt[3]{s i n^{3} 2 x}} = 2 3 \tan 2 x$

Utilitzant aquest resultat i introduint a la primera expressió, $f^{'} (x) = \frac{\frac{2 (x^{2} - 4)}{3 \tan 2 x} - 2 x \cdot \ln \sqrt[3]{\sin 2 x}}{(x^{2} - 4)^{2}} f^{'} (x) = \frac{2}{3 \tan 2 x \cdot (x^{2} - 4)} - \frac{2 x \cdot \ln \sqrt[3]{\sin 2 x}}{(x^{2} - 4)^{2}}$