Aquesta és la regla més important i que permetrà derivar qualsevol tipus de funció. Aquesta, per molt complicada que sigui, sempre podrà reduir-se a les funcions elementals estudiades fins al moment mitjançant la seva composició.
$$f(x) =\sin (ax+b)$$ és una composició de les funcions elementals $$g (x) =\sin x$$ i $$h(x)=ax+b$$.
La composició de funcions ens diu que $$f(x)=g(h(x))$$ o, en una altra notació, $$f=h \circ g$$. Podríem lògicament fer composicions de tres funcions diferents, o de quatre, o de totes les funcions vulguem.
En la següent taula es presenten diverses funcions construïdes a partir de la composició de funcions elementals i les seves derivades.
Observa atentament i intenta deduir ara l'anomenada regla de la cadena:
| $$f (x)$$ | $$f'(x)$$ |
| $$\sin 2x$$ | $$\cos 2x \cdot 2$$ |
| $$e^{x^2}$$ | $$e^{x^2}\cdot 2x$$ |
| $$(x^3+x)^{\frac{1}{2}}$$ | $$\frac{1}{2}(x^3+x)^{-\frac{1}{2}}\cdot (3x^2+1)$$ |
| $$\ln x^2$$ | $$\frac{1}{x^2}\cdot 2x$$ |
| $$g (h (x))$$ | ? |
Si ho has aconseguit, felicitats! Comprova el teu resultat i avança als exemples. Si no has pogut deduir la regla de la cadena mira de què es tracta i aplica-la de nou a les funcions de la taula per comprovar els resultats.
Regla de la cadena
$$$f(x)=g(h(x)) \Rightarrow f'(x)=g'h((x)) \cdot h'(x)$$$
Sigui $$f(x)=\sin 2x$$.
Identifiquem $$g(x)=\sin x$$ i $$h(x)= 2x$$, de tal manera que $$f(x)=g(h(x))= \sin 2x$$.
Ara podem aplicar la regla de la cadena, $$f '(x) = \cos 2x \cdot 2 = 2\cos 2x$$
Compliquem una mica més les nostres funcions.
Sigui $$ f(x) =e^{x^3+2x+1}$$.
Identifiquem $$g(x) =e^x$$ i $$h(x)= x^3+2x+1$$.
Apliquem directament la regla de la cadena, $$f '(x)= e^{x^3+2x+1} \cdot (3x^2+2) $$
Seguim complicant-lo $$f(x)=\ln (\sin x^2))$$.
En aquest cas identifiquem tres funcions:
$$g(x)= \ln x \\ h(x) =\sin x \\ t(x)=x^2$$
La regla de la cadena continua sent vàlida. Anem amb el càlcul:
$$f'(x)=\frac{1}{sin x^2} \cdot \cos x^2 \cdot 2x=\frac{2x}{\tan x^2}$$
Vegem, per curiositat, com la regla del quocient és en realitat la mateixa que la del producte si utilitzem la regla de la cadena:
$$\dfrac{f(x)}{g(x)}=f(x)(g(x)^{-1}$$
$$$\Big(\dfrac{f(x)}{g(x)}\Big)'=f'(x)g(x)^{-1}+(-1)f(x)g(x)^{-2}=$$$ $$$=f'(x)g(x)^{-1}\dfrac{g(x)}{g(x)}-f(x)g(x)^{-2}g'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$$
Com es veu, aquesta regla ja sí permetrà derivar qualsevol expressió. El desenvolupament del càlcul pot ser més o menys llarg, doncs la nostra funció pot ser una composició de dos, tres o fins N funcions elementals, però tècnicament no ha de suposar un problema.
Val a dir també que podem barrejar funcions que requereixin la regla de la cadena, la del producte i la del quocient al mateix temps. En aquests casos el càlcul serà enutjós, però tècnicament igual al que hem fet fins ara.
Vegem un exemple difícil:
$$f(x)=\dfrac{\ln \sqrt[3]{\sin 2x}}{x^2-4}$$
D'entrada ja es veu que s'ha d'utilitzar la regla del quocient.
Així doncs,$$$f'(x)=\frac{\Big(\ln \sqrt[3]{\sin 2x}\Big)' \cdot (x^2-4) - \ln (\sqrt[3]{\sin 2x}) \cdot 2x}{(x^2-4)^2}$$$
Ara s'ha d'utilitzar la regla de la cadena per a derivar el numerador $$$ \Big(\ln \sqrt[3]{\sin 2x} \Big)'=\frac{1}{\sqrt[3]{\sin 2x}}\cdot \Big(\frac{1}{3}\sin^{2/3} 2x\Big)\cdot \cos 2x\cdot 2=\frac{2 \cos 2x}{3 \sqrt[3]{sin^3 2x}}={2}{3\tan 2x} $$$
Utilitzant aquest resultat i introduint a la primera expressió, $$$ f'(x)=\frac{\frac{2(x^2-4)}{3\tan 2x}-2x \cdot \ln \sqrt[3]{\sin 2x}}{(x^2-4)^2} \\ f'(x)=\frac{2}{3 \tan 2x \cdot (x^2-4)}-\frac{2x\cdot \ln \sqrt[3]{\sin 2x}}{(x^2-4)^2}$$$