Esta es la regla más importante y que nos permitirá derivar cualquier tipo de función. Ésta, por muy complicada que sea, siempre podrá reducirse a las funciones elementales estudiadas hasta ahora mediante su composición.
$$f(x) =\sin (ax+b)$$ es una composición de las funciones elementales $$g (x) =\sin x$$ y $$h(x)=ax+b$$.
La composición de funciones nos dice que $$f(x)=g(h(x))$$ o, en otra notación, $$f=h \circ g$$. Podríamos lógicamente hacer composiciones de tres funciones distintas, o de cuatro, o de cuantas funciones queramos.
En la siguiente tabla se presentan varias funciones construidas a partir de la composición de funciones elementales y sus derivadas.
Obsérvala atentamente e intenta deducir ahora la llamada regla de la cadena:
| $$f (x)$$ | $$f'(x)$$ |
| $$\sin 2x$$ | $$\cos 2x \cdot 2$$ |
| $$e^{x^2}$$ | $$e^{x^2}\cdot 2x$$ |
| $$(x^3+x)^{\frac{1}{2}}$$ | $$\frac{1}{2}(x^3+x)^{-\frac{1}{2}}\cdot (3x^2+1)$$ |
| $$\ln x^2$$ | $$\frac{1}{x^2}\cdot 2x$$ |
| $$g (h (x))$$ | ? |
Si lo has conseguido ¡felicidades! Comprueba tu resultado y avanza a los ejemplos. Si no has podido sacar la regla de la cadena mira de qué se trata y aplícala de nuevo a las funciones de la tabla para comprobar los resultados.
Regla de la cadena
$$$f(x)=g(h(x)) \Rightarrow f'(x)=g'h((x)) \cdot h'(x)$$$
Sea: $$f(x)=\sin 2x$$ Identificamos $$g(x)=\sin x$$ y $$h(x)= 2x$$, de tal manera que $$f(x)=g(h(x))= \sin 2x$$.
De esta manera podemos aplicar la regla de la cadena, $$f '(x) = \cos 2x \cdot 2 = 2\cos 2x$$
Compliquemos un poco más nuestras funciones.
Let $$ f(x) =e^{x^3+2x+1}$$.
Identificamos $$g(x) =e^x$$ y $$h(x)= x^3+2x+1$$.
Apliquemos directamente la regla de la cadena, $$f '(x)= e^{x^3+2x+1} \cdot (3x^2+2) $$
Sigamos complicándolo $$f(x)=\ln (\sin x^2))$$.
En este caso identificamos tres funciones:
$$g(x)= \ln x \\ h(x) =\sin x \\ t(x)=x^2$$
La regla de la cadena sigue siendo válida. Vayamos con el cálculo:
$$f'(x)=\frac{1}{sin x^2} \cdot \cos x^2 \cdot 2x=\frac{2x}{\tan x^2}$$
Veamos, por curiosidad, como la regla del cociente es en realidad la misma que la del producto si utilizamos la regla de la cadena:
$$\dfrac{f(x)}{g(x)}=f(x)(g(x)^{-1}$$
$$$\Big(\dfrac{f(x)}{g(x)}\Big)'=f'(x)g(x)^{-1}+(-1)f(x)g(x)^{-2}=$$$ $$$=f'(x)g(x)^{-1}\dfrac{g(x)}{g(x)}-f(x)g(x)^{-2}g'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$$
Como se ve, esta regla ya sí permitirá derivar cualquier expresión. El desarrollo del cálculo puede ser más o menos largo -pues nuestra función puede ser una composición de dos, tres o hasta $$N$$ funciones elementales, pero técnicamente no debe suponer un problema.
Cabe decir también que podemos mezclar funciones que requieran la regla de la cadena, la del producto i la del cociente al mismo tiempo. En estos casos el cálculo será engorroso, pero técnicamente igual a lo que hemos hecho hasta ahora.
Veamos un ejemplo difícil:
$$f(x)=\dfrac{\ln \sqrt[3]{\sin 2x}}{x^2-4}$$
De entrada ya se ve que se deberá utilizar la regla del cociente.
Así pues,$$$f'(x)=\frac{\Big(\ln \sqrt[3]{\sin 2x}\Big)' \cdot (x^2-4) - \ln (\sqrt[3]{\sin 2x}) \cdot 2x}{(x^2-4)^2}$$$
Ahora se tiene que utilizar la regla de la cadena para derivar el numerador
$$$ \Big(\ln \sqrt[3]{\sin 2x} \Big)'=\frac{1}{\sqrt[3]{\sin 2x}}\cdot \Big(\frac{1}{3}\sin^{2/3} 2x\Big)\cdot \cos 2x\cdot 2=\frac{2 \cos 2x}{3 \sqrt[3]{sin^3 2x}}={2}{3\tan 2x} $$$
Utilizando este resultado e introduciéndolo en la primera expresión, $$$ f'(x)=\frac{\frac{2(x^2-4)}{3\tan 2x}-2x \cdot \ln \sqrt[3]{\sin 2x}}{(x^2-4)^2} \\ f'(x)=\frac{2}{3 \tan 2x \cdot (x^2-4)}-\frac{2x\cdot \ln \sqrt[3]{\sin 2x}}{(x^2-4)^2}$$$