Derivada de la composición de funciones (regla de la cadena)

Esta es la regla más importante y que nos permitirá derivar cualquier tipo de función. Ésta, por muy complicada que sea, siempre podrá reducirse a las funciones elementales estudiadas hasta ahora mediante su composición.

Ejemplo

$f (x) = \sin (a x + b)$ es una composición de las funciones elementales $g (x) = \sin x$ y $h (x) = a x + b$ .

La composición de funciones nos dice que $f (x) = g (h (x))$ o, en otra notación, $f = h \circ g$ . Podríamos lógicamente hacer composiciones de tres funciones distintas, o de cuatro, o de cuantas funciones queramos.

En la siguiente tabla se presentan varias funciones construidas a partir de la composición de funciones elementales y sus derivadas.

Obsérvala atentamente e intenta deducir ahora la llamada regla de la cadena:

$f (x)$	$f^{'} (x)$
$\sin 2 x$	$\cos 2 x \cdot 2$
$e^{x^{2}}$	$e^{x^{2}} \cdot 2 x$
$(x^{3} + x)^{\frac{1}{2}}$	$\frac{1}{2} (x^{3} + x)^{- \frac{1}{2}} \cdot (3 x^{2} + 1)$
$\ln x^{2}$	$\frac{1}{x^{2}} \cdot 2 x$
$g (h (x))$	?

Si lo has conseguido ¡felicidades! Comprueba tu resultado y avanza a los ejemplos. Si no has podido sacar la regla de la cadena mira de qué se trata y aplícala de nuevo a las funciones de la tabla para comprobar los resultados.

Regla de la cadena

$f (x) = g (h (x)) \Rightarrow f^{'} (x) = g^{'} h ((x)) \cdot h^{'} (x)$

Ejemplo

Sea: $f (x) = \sin 2 x$ Identificamos $g (x) = \sin x$ y $h (x) = 2 x$ , de tal manera que $f (x) = g (h (x)) = \sin 2 x$ .

De esta manera podemos aplicar la regla de la cadena, $f^{'} (x) = \cos 2 x \cdot 2 = 2 \cos 2 x$

Ejemplo

Compliquemos un poco más nuestras funciones.

Let $f (x) = e^{x^{3} + 2 x + 1}$ .

Identificamos $g (x) = e^{x}$ y $h (x) = x^{3} + 2 x + 1$ .

Apliquemos directamente la regla de la cadena, $f^{'} (x) = e^{x^{3} + 2 x + 1} \cdot (3 x^{2} + 2)$

Ejemplo

Sigamos complicándolo $f (x) = \ln (\sin x^{2}))$ .

En este caso identificamos tres funciones:

$g (x) = \ln x h (x) = \sin x t (x) = x^{2}$

La regla de la cadena sigue siendo válida. Vayamos con el cálculo:

$f^{'} (x) = \frac{1}{s i n x^{2}} \cdot \cos x^{2} \cdot 2 x = \frac{2 x}{\tan x^{2}}$

Ejemplo

Veamos, por curiosidad, como la regla del cociente es en realidad la misma que la del producto si utilizamos la regla de la cadena:

$\frac{f (x)}{g (x)} = f (x) (g (x)^{- 1}$

$(\frac{f (x)}{g (x)})^{'} = f^{'} (x) g (x)^{- 1} + (- 1) f (x) g (x)^{- 2} =$ $= f^{'} (x) g (x)^{- 1} \frac{g (x)}{g (x)} - f (x) g (x)^{- 2} g^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) g (x) - f (x) g^{'} (x)}{g^{2} (x)}$

Como se ve, esta regla ya sí permitirá derivar cualquier expresión. El desarrollo del cálculo puede ser más o menos largo -pues nuestra función puede ser una composición de dos, tres o hasta $N$ funciones elementales, pero técnicamente no debe suponer un problema.

Cabe decir también que podemos mezclar funciones que requieran la regla de la cadena, la del producto i la del cociente al mismo tiempo. En estos casos el cálculo será engorroso, pero técnicamente igual a lo que hemos hecho hasta ahora.

Veamos un ejemplo difícil:

Ejemplo

$f (x) = \frac{\ln \sqrt[3]{\sin 2 x}}{x^{2} - 4}$

De entrada ya se ve que se deberá utilizar la regla del cociente.

Así pues, $f^{'} (x) = \frac{(\ln \sqrt[3]{\sin 2 x})^{'} \cdot (x^{2} - 4) - \ln (\sqrt[3]{\sin 2 x}) \cdot 2 x}{(x^{2} - 4)^{2}}$

Ahora se tiene que utilizar la regla de la cadena para derivar el numerador
$(\ln \sqrt[3]{\sin 2 x})^{'} = \frac{1}{\sqrt[3]{\sin 2 x}} \cdot (\frac{1}{3} \sin^{2 / 3} 2 x) \cdot \cos 2 x \cdot 2 = \frac{2 \cos 2 x}{3 \sqrt[3]{s i n^{3} 2 x}} = 2 3 \tan 2 x$

Utilizando este resultado e introduciéndolo en la primera expresión, $f^{'} (x) = \frac{\frac{2 (x^{2} - 4)}{3 \tan 2 x} - 2 x \cdot \ln \sqrt[3]{\sin 2 x}}{(x^{2} - 4)^{2}} f^{'} (x) = \frac{2}{3 \tan 2 x \cdot (x^{2} - 4)} - \frac{2 x \cdot \ln \sqrt[3]{\sin 2 x}}{(x^{2} - 4)^{2}}$