Ejercicios de Derivada de la composición de funciones (regla de la cadena)

Desarrollo:

Primero debemos identificar las diferentes funciones elementales, por lo que deberemos utilizar la regla del cociente $$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{[10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (3x+1){]}^{\prime }\cdot \ln (x)-[10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (3x+1)]{\displaystyle \frac{1}{x}}}{\ln (x{)}^2}}$$

Tendremos que derivar pues la siguiente expresión utilizando la regla del producto:

$[10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (3x+1){]}^{\prime }=[10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}{]}^{\prime }\cos (3x+1)+10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}[\cos (3x+1){]}^{\prime }$

Sigamos buscando las derivadas que necesitamos, utilizando ahora la regla de la cadena:

$[10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}{]}^{\prime }=10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (\sqrt[5]{x^2}){\displaystyle \frac{2}{5}}{x}^{-3/5}={\displaystyle \frac{4e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (\sqrt[5]{x^2})}{\sqrt[5]{x^3}}}$

$[\cos (3x+1){]}^{\prime }=-\sin (3x+1)\cdot 3=-3\sin (3x+1)$

Introduciendo estos resultados,

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{[{\displaystyle \frac{4e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (\sqrt[5]{x^2})}{\sqrt[5]{x^3}}}\cos (3x+1)-30\sin (3x+1)e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}]\cdot \ln (x)-[10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (3x+1)]{\displaystyle \frac{1}{x}}}{\ln (x{)}^2}}$$

Solución:

$$f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{[{\displaystyle \frac{4e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (\sqrt[5]{x^2})}{\sqrt[5]{x^3}}}\cos (3x+1)-30\sin (3x+1)e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}]\cdot \ln (x)-[10e^{\sin (\sqrt[5]{x^2})}\cos (3x+1)]{\displaystyle \frac{1}{x}}}{\ln (x{)}^2}}$$

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