Exercicis de Distància d'un punt a una recta a l'espai

Donat el punt $P = (1, 2, 3)$ , trobeu la distància d'aquest punt a la recta $r$ :

$r : (x, y, z) = (1, 3, - 2) + k \cdot (1, 0, 1)$

Desenvolupament:

Per trobar la distància a la recta, considerem el punt $Q = (1, 3, - 2)$ i el vector director $\vec{v} = (1, 0, 1)$ . Calculem ara el producte vectorial del vector $\vec{Q P}$ per $\vec{v}$ .

$\vec{Q P} = (0, - 1, 5)$

$\begin{aligned} | \vec{Q P} \times \vec{v} | = & | | \begin{array}{c} i & j & k \\ 0 & - 1 & 5 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} | | = | - i + 5 j + k | = | (- 3, 2, - 1) | \\ = & \sqrt{1 + 25 + 1} = \sqrt{27} \end{aligned}$

I ja podem aplicar la fórmula: $d (P, r) = \frac{| \vec{Q P} \times \vec{v} |}{| \vec{v} |} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{27}{2}}$

Solució:

$d (P, r) = \sqrt{\frac{27}{2}}$

Amagar desenvolupament i solució