La distància entre un punt $$P$$ i una recta $$r$$, $$\text{d}(P,r)$$ és la mínima de les distàncies entre $$P$$ i un punt qualsevol de la recta $$r$$.
- Si $$P$$ és un punt de la recta $$r$$, la distància és zero.
- Si $$P$$ no és un punt de la recta $$r$$, la distància de $$P$$ a $$r$$ és el mòdul del vector $$\overrightarrow{PP'}$$, on $$P'$$ és la projecció ortogonal de $$P$$ sobre la recta $$r$$.
No obstant això, hi ha una manera més senzilla de calcular la distància d'un punt $$P$$ a una recta $$r$$ si el punt no pertany a la recta. Considerem un punt $$Q$$ sobre la recta $$r$$ i el vector director de la recta, $$\vec{v}$$. L'àrea del paral·lelogram determinat pel vector $$\overrightarrow{QP}$$ i per $$\vec{v}$$ és el mòdul del producte vectorial dels dos vectors: $$$S_p=|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|$$$
Però l'àrea d'un paral·lelogram també ve donada pel producte de la base per l'altura. Llavors: $$$|S_p=|\vec{v}|\cdot\text{d}(P,r)$$$
Per tant, $$$\text{d}(P,r)=\dfrac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}$$$
Calcula la distància del punt $$P = (2, 4, 1)$$ a la recta $$r: (x, y, z) = (2, 3, -1) + k\cdot(1, 2, 1)$$.
Agafem un punt de la recta, per exemple $$Q = (2, 3, -1)$$. Ara haurem de calcular el producte vectorial del vector $$\overrightarrow{QP}$$ per $$\vec{v}$$.
$$\overrightarrow{QP}=(0,1,2)$$
$$\begin{array}{rl} |\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|=& \left| \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0& 1& 2 \\ 1& 2& 1 \end{vmatrix} \right| = |i+2j-k-4i|=|-3i+2j-k| \\ =& |(-3,2,-1)|=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14} \end{array}$$
i ja podem aplicar la fórmula:
$$$\text{d}(P,r)=\dfrac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}= \dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\dfrac{7}{3}}$$$