Distància d'un punt a una recta a l'espai

La distància entre un punt $P$ i una recta $r$ , $d (P, r)$ és la mínima de les distàncies entre $P$ i un punt qualsevol de la recta $r$ .

Si $P$ és un punt de la recta $r$ , la distància és zero.
Si $P$ no és un punt de la recta $r$ , la distància de $P$ a $r$ és el mòdul del vector $\vec{P P^{'}}$ , on $P^{'}$ és la projecció ortogonal de $P$ sobre la recta $r$ .

No obstant això, hi ha una manera més senzilla de calcular la distància d'un punt $P$ a una recta $r$ si el punt no pertany a la recta. Considerem un punt $Q$ sobre la recta $r$ i el vector director de la recta, $\vec{v}$ . L'àrea del paral·lelogram determinat pel vector $\vec{Q P}$ i per $\vec{v}$ és el mòdul del producte vectorial dels dos vectors: $S_{p} = | \vec{Q P} \times \vec{v} |$

Però l'àrea d'un paral·lelogram també ve donada pel producte de la base per l'altura. Llavors: $| S_{p} = | \vec{v} | \cdot d (P, r)$

Per tant, $d (P, r) = \frac{| \vec{Q P} \times \vec{v} |}{| \vec{v} |}$

Exemple

Calcula la distància del punt $P = (2, 4, 1)$ a la recta $r : (x, y, z) = (2, 3, - 1) + k \cdot (1, 2, 1)$ .

Agafem un punt de la recta, per exemple $Q = (2, 3, - 1)$ . Ara haurem de calcular el producte vectorial del vector $\vec{Q P}$ per $\vec{v}$ .

$\vec{Q P} = (0, 1, 2)$

$\begin{aligned} | \vec{Q P} \times \vec{v} | = & | | \begin{array}{c} i & j & k \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} | | = | i + 2 j - k - 4 i | = | - 3 i + 2 j - k | \\ = & | (- 3, 2, - 1) | = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \end{aligned}$

i ja podem aplicar la fórmula:

$d (P, r) = \frac{| \vec{Q P} \times \vec{v} |}{| \vec{v} |} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{7}{3}}$