Distància entre dos punts a l'espai

Donats dos punts de l'espai $A = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ i $B = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ es defineix la distància entre ells de la manera següent:

La distància entre els punts $A$ i $B$ és el mòdul del vector $\vec{A B}$ ,

$d (A, B) = | \vec{A B} | = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}}$

Aquesta distància compleix les propietats següents:

$d (A, B) ⩾ 0$ i $d (A, B) = 0 \Leftrightarrow A = B$ (Definida positiva)
$d (A, B) = d (B, A)$ (Simètrica)
$d (A, B) ⩽ d (A, C) + d (C, B)$ (Desigualtat triangular)

A partir d'aquí determinarem la distància entre dos elements qualssevol de l'espai a partir de la distància entre dos punts, tenint en compte que sempre s'agafarà la distància més petita possible entre punts d'un i altre element.

Exemple

Calcula la distància entre els punts $A = (0, 2, 0)$ i $B = (7, 2, - 1)$ .

Podem aplicar la fórmula directament:

$\begin{aligned} d (A, B) = & | \vec{A B} | = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}} \\ = & \sqrt{(7 - 0)^{2} + (2 - 2)^{2} + (- 1 - 0)^{2}} = \sqrt{50} \end{aligned}$