La distància entre dues rectes $$r$$ i $$r'$$, $$\text{d}(r,r')$$, és la mínima distància entre un punt qualsevol de $$r$$ i un punt qualsevol de $$r'$$.
- Si les rectes són coincidents o secants, la distància entre elles és zero, $$\text{d}(r,r')=0$$.
- Si les rectes són paral·leles, es calcula la distància entre elles prenent un punt qualsevol d'una de les dues rectes, $$P\in r$$ o $$P'\in r'$$, i trobant la distància a l'altra recta: $$\text{d}(r,r')=\text{d}(P,r')=\text{d}(r,P')$$
-
Si les rectes es creuen, es dedueix la fórmula general per calcular la distància entre elles:
Prenem un punt $$A$$ pertanyent a $$r$$ i un altre punt $$A'$$ pertanyent a $$r'$$. Siguin $$\vec{v}$$ i $$\vec{v}'$$ vectors directors de $$r$$ i $$r'$$. Unim els punts $$A$$ i $$A'$$. El volum del paral·lelogram determinat per $$\overrightarrow{AA'}$$, $$\vec{v}$$ i $$\vec{v}'$$, és el valor absolut del producte mixt d'aquests vectors: $$$v_p=|[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']|$$$
D'altra banda també podem calcular aquest volum mitjançant el producte de l'àrea de la base per l'altura: $$$v_p=|\vec{v}\times\vec{v}'|\text{d}(r,r')|$$$
Per tant: $$$\text{d}(r,r')=\dfrac{|[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']|} {|\vec{v}\times\vec{v}'|}$$$
Anem a calcular la distància entre les rectes: $$$ r:x-2=\dfrac{y+3}{2}=z \qquad r':x=y=z$$$
Primer es determina la seva posició relativa. Per a això s'han d'escriure les equacions implícites de la recta: $$$ r:\left\{ \begin{array}{l} 2x-y-7=0 \\ x-z-2=0 \end{array} \right. \qquad r':\left\{ \begin{array}{l} x-y=0 \\ x-z=0 \end{array} \right.$$$
I calculem el rang de les matrius del sistema d'equacions resultant: $$$|M'|=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} =2 \neq 0 $$$
Per tant $$\text{rang}(M')=4$$ i les dues rectes es creuen. Així, hem de trobar un punt i el vector director de cada recta.
Per a la recta $$r$$: $$A=(2,-3,0)$$ i $$\vec{v}=(1,2,1)$$.
Per a la recta $$r'$$: $$A'=(0,0,0)$$ i $$\vec{v}=(1,1,1)$$.
Així tenim: $$\overrightarrow{AA'}=(-2,3,0)$$
$$$\begin{array}{rl} |\vec{v}\times\vec{v}'|=&\left| \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \right|= |2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}-2\vec{k}-\vec{j}-\vec{i}|= |\vec{i}-\vec{k}| \\ =& |(1,0,-1)| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2} \end{array}$$$
$$$[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']= \begin{vmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -4+3+2-3=-2 $$$
Finalment: $$$ \text{d}(r,r')=\dfrac{|[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']|} {|\vec{v}\times\vec{v}'|}= \dfrac{|-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$$