Distància entre dues rectes a l'espai

La distància entre dues rectes $r$ i $r^{'}$ , $d (r, r^{'})$ , és la mínima distància entre un punt qualsevol de $r$ i un punt qualsevol de $r^{'}$ .

Si les rectes són coincidents o secants, la distància entre elles és zero, $d (r, r^{'}) = 0$ .
Si les rectes són paral·leles, es calcula la distància entre elles prenent un punt qualsevol d'una de les dues rectes, $P \in r$ o $P^{'} \in r^{'}$ , i trobant la distància a l'altra recta: $d (r, r^{'}) = d (P, r^{'}) = d (r, P^{'})$
Si les rectes es creuen, es dedueix la fórmula general per calcular la distància entre elles:

Prenem un punt $A$ pertanyent a $r$ i un altre punt $A^{'}$ pertanyent a $r^{'}$ . Siguin $\vec{v}$ i ${\vec{v}}^{'}$ vectors directors de $r$ i $r^{'}$ . Unim els punts $A$ i $A^{'}$ . El volum del paral·lelogram determinat per $\vec{A A^{'}}$ , $\vec{v}$ i ${\vec{v}}^{'}$ , és el valor absolut del producte mixt d'aquests vectors: $v_{p} = | [\vec{A A^{'}}, \vec{v}, {\vec{v}}^{'}] |$

D'altra banda també podem calcular aquest volum mitjançant el producte de l'àrea de la base per l'altura: $v_{p} = | \vec{v} \times {\vec{v}}^{'} | d (r, r^{'}) |$

Per tant: $d (r, r^{'}) = \frac{| [\vec{A A^{'}}, \vec{v}, {\vec{v}}^{'}] |}{| \vec{v} \times {\vec{v}}^{'} |}$

Exemple

Anem a calcular la distància entre les rectes: $r : x - 2 = \frac{y + 3}{2} = z r^{'} : x = y = z$

Primer es determina la seva posició relativa. Per a això s'han d'escriure les equacions implícites de la recta: $r : {\begin{cases} 2 x - y - 7 = 0 \\ x - z - 2 = 0 \end{cases} r^{'} : {\begin{cases} x - y = 0 \\ x - z = 0 \end{cases}$

I calculem el rang de les matrius del sistema d'equacions resultant: $| M^{'} | = | \begin{matrix} 2 & - 1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & - 1 & 2 \\ 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \end{matrix} | = 2 \neq 0$

Per tant $rang (M^{'}) = 4$ i les dues rectes es creuen. Així, hem de trobar un punt i el vector director de cada recta.

Per a la recta $r$ : $A = (2, - 3, 0)$ i $\vec{v} = (1, 2, 1)$ .

Per a la recta $r^{'}$ : $A^{'} = (0, 0, 0)$ i $\vec{v} = (1, 1, 1)$ .

Així tenim: $\vec{A A^{'}} = (- 2, 3, 0)$

$\begin{aligned} | \vec{v} \times {\vec{v}}^{'} | = & | | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | | = | 2 \vec{i} + \vec{j} + \vec{k} - 2 \vec{k} - \vec{j} - \vec{i} | = | \vec{i} - \vec{k} | \\ = & | (1, 0, - 1) | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{2} \end{aligned}$

$[\vec{A A^{'}}, \vec{v}, {\vec{v}}^{'}] = | \begin{matrix} - 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | = - 4 + 3 + 2 - 3 = - 2$

Finalment: $d (r, r^{'}) = \frac{| [\vec{A A^{'}}, \vec{v}, {\vec{v}}^{'}] |}{| \vec{v} \times {\vec{v}}^{'} |} = \frac{| - 2 |}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$