La distancia entre dos rectas $$r$$ y $$r'$$, $$\text{d}(r,r')$$, es la mínima distancia entre un punto cualquiera de $$r$$ y un punto cualquiera de $$r'$$.
- Si las rectas son coincidentes o secantes, la distancia entre ellas es cero, $$\text{d}(r,r')=0$$.
- Si las rectas son paralelas, se calcula la distancia entre ellas tomando un punto cualquiera de una de las dos rectas, $$P\in r$$ o $$P'\in r'$$, y encontrando la distancia a la otra recta: $$\text{d}(r,r')=\text{d}(P,r')=\text{d}(r,P')$$
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Si las rectas se cruzan, se deduce la siguiente fórmula general para calcular la distancia entre ellas:
Tomamos un punto $$A$$ perteneciente a $$r$$ y otro punto $$A'$$ perteneciente a $$r'$$. Sean $$\vec{v}$$ y $$\vec{v}'$$ vectores directores de $$r$$ y $$r'$$. Unimos los puntos $$A$$ y $$A'$$. El volumen del paralelepípedo determinado por $$\overrightarrow{AA'}$$, $$\vec{v}$$ y $$\vec{v}'$$, es el valor absoluto del producto mixto de estos vectores: $$$v_p=|[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']|$$$
Por otro lado también podemos calcular este volumen mediante el producto del área de la base por la altura: $$$v_p=|\vec{v}\times\vec{v}'|\text{d}(r,r')|$$$
Por tanto: $$$\text{d}(r,r')=\dfrac{|[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']|} {|\vec{v}\times\vec{v}'|}$$$
Vamos a calcular la distancia entre las rectas: $$$ r:x-2=\dfrac{y+3}{2}=z \qquad r':x=y=z$$$
Primero se determina su posición relativa. Para ello se deben escribir las ecuaciones implícitas de la recta: $$$ r:\left\{ \begin{array}{l} 2x-y-7=0 \\ x-z-2=0 \end{array} \right. \qquad r':\left\{ \begin{array}{l} x-y=0 \\ x-z=0 \end{array} \right.$$$
Y calculamos el rango de las matrices del sistema de ecuaciones resultante: $$$|M'|=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} =2 \neq 0 $$$
Por tanto $$\text{rango}(M')=4$$ y las dos rectas se cruzan. Así, debemos encontrar un punto y el vector director de cada recta.
Para la recta $$r$$: $$A=(2,-3,0)$$ y $$\vec{v}=(1,2,1)$$.
Para la recta $$r'$$: $$A'=(0,0,0)$$ y $$\vec{v}=(1,1,1)$$.
Así tenemos: $$\overrightarrow{AA'}=(-2,3,0)$$
$$$\begin{array}{rl} |\vec{v}\times\vec{v}'|=&\left| \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \right|= |2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}-2\vec{k}-\vec{j}-\vec{i}|= |\vec{i}-\vec{k}| \\ =& |(1,0,-1)| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}=\sqrt{2} \end{array}$$$
$$$[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']= \begin{vmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -4+3+2-3=-2 $$$
Finalmente: $$$ \text{d}(r,r')=\dfrac{|[\overrightarrow{AA'},\vec{v},\vec{v}']|} {|\vec{v}\times\vec{v}'|}= \dfrac{|-2|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$$$