Distancia entre dos rectas en el espacio

La distancia entre dos rectas $r$ y $r^{'}$ , $d (r, r^{'})$ , es la mínima distancia entre un punto cualquiera de $r$ y un punto cualquiera de $r^{'}$ .

Si las rectas son coincidentes o secantes, la distancia entre ellas es cero, $d (r, r^{'}) = 0$ .
Si las rectas son paralelas, se calcula la distancia entre ellas tomando un punto cualquiera de una de las dos rectas, $P \in r$ o $P^{'} \in r^{'}$ , y encontrando la distancia a la otra recta: $d (r, r^{'}) = d (P, r^{'}) = d (r, P^{'})$
Si las rectas se cruzan, se deduce la siguiente fórmula general para calcular la distancia entre ellas:

Tomamos un punto $A$ perteneciente a $r$ y otro punto $A^{'}$ perteneciente a $r^{'}$ . Sean $\vec{v}$ y ${\vec{v}}^{'}$ vectores directores de $r$ y $r^{'}$ . Unimos los puntos $A$ y $A^{'}$ . El volumen del paralelepípedo determinado por $\vec{A A^{'}}$ , $\vec{v}$ y ${\vec{v}}^{'}$ , es el valor absoluto del producto mixto de estos vectores: $v_{p} = | [\vec{A A^{'}}, \vec{v}, {\vec{v}}^{'}] |$

Por otro lado también podemos calcular este volumen mediante el producto del área de la base por la altura: $v_{p} = | \vec{v} \times {\vec{v}}^{'} | d (r, r^{'}) |$

Por tanto: $d (r, r^{'}) = \frac{| [\vec{A A^{'}}, \vec{v}, {\vec{v}}^{'}] |}{| \vec{v} \times {\vec{v}}^{'} |}$

Ejemplo

Vamos a calcular la distancia entre las rectas: $r : x - 2 = \frac{y + 3}{2} = z r^{'} : x = y = z$

Primero se determina su posición relativa. Para ello se deben escribir las ecuaciones implícitas de la recta: $r : {\begin{cases} 2 x - y - 7 = 0 \\ x - z - 2 = 0 \end{cases} r^{'} : {\begin{cases} x - y = 0 \\ x - z = 0 \end{cases}$

Y calculamos el rango de las matrices del sistema de ecuaciones resultante: $| M^{'} | = | \begin{matrix} 2 & - 1 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & - 1 & 2 \\ 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \end{matrix} | = 2 \neq 0$

Por tanto $rango (M^{'}) = 4$ y las dos rectas se cruzan. Así, debemos encontrar un punto y el vector director de cada recta.

Para la recta $r$ : $A = (2, - 3, 0)$ y $\vec{v} = (1, 2, 1)$ .

Para la recta $r^{'}$ : $A^{'} = (0, 0, 0)$ y $\vec{v} = (1, 1, 1)$ .

Así tenemos: $\vec{A A^{'}} = (- 2, 3, 0)$

$\begin{aligned} | \vec{v} \times {\vec{v}}^{'} | = & | | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} | | = | 2 \vec{i} + \vec{j} + \vec{k} - 2 \vec{k} - \vec{j} - \vec{i} | = | \vec{i} - \vec{k} | \\ = & | (1, 0, - 1) | = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{2} \end{aligned}$

$[\vec{A A^{'}}, \vec{v}, {\vec{v}}^{'}] = | \begin{matrix} - 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | = - 4 + 3 + 2 - 3 = - 2$

Finalmente: $d (r, r^{'}) = \frac{| [\vec{A A^{'}}, \vec{v}, {\vec{v}}^{'}] |}{| \vec{v} \times {\vec{v}}^{'} |} = \frac{| - 2 |}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$