Distancia entre dos planos en el espacio

Para calcular la distancia entre dos planos $π$ y $π^{'}$ cualesquiera, hay que tener en cuenta su posición relativa:

Si los planos son coincidentes o secantes, la distancia entre ellos es cero, $d (π, π^{'}) = 0$ .
Si los planos son paralelos, la distancia entre ellos se calcula tomando un punto cualquiera de uno de ellos y calculando la distancia de dicho punto al otro plano. $d (π, π^{'}) = d (P, π^{'}) = d (π, P^{'})$ donde $P \in π$ y $P^{'} \in π^{'}$ .

Ejemplo

Encuentra la distancia entre los planos siguientes:

$π : 2 x - 4 y + 4 z + 3 = 0 π^{'} : x - 2 y + 2 z - 1 = 0$

Comprobamos que los planos sean paralelos: $\frac{2}{1} = \frac{- 4}{- 2} = \frac{4}{2}$

Efectivamente.

Por tanto, podemos tomar el punto $P^{'} = (1, 0, 0)$ perteneciente a $π^{'}$ y hacer: $d (π, π^{'}) = d (P^{'}, π) = \frac{| 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 |}{\sqrt{2^{2} + (- 4)^{2} + 4^{2}}} = \frac{5}{6}$

Otra buena manera de calcular la distancia entre planos paralelos, si los tenemos expresados como:

$π : A x + B y + C z + D = 0 π^{'} : A x + B y + C z + D^{'} = 0$

Consiste en utilizar su distancia al origen de coordenadas, cosa que permite obtener la siguiente expresión:

$d (π, π^{'}) = \frac{| D - D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$