Distància entre dos plans a l'espai

Per calcular la distància entre dos plans $π$ i $π^{'}$ qualssevol, cal tenir en compte la seva posició relativa:

Si els plans són coincidents o secants, la distància entre ells és zero, $d (π, π^{'}) = 0$ .
Si els plans són paral·lels, la distància entre ells es calcula prenent un punt qualsevol d'un d'ells i calculant la distància d'aquest punt a l'altre pla. $d (π, π^{'}) = d (P, π^{'}) = d (π, P^{'})$ on $P \in π$ i $P^{'} \in π^{'}$ .

Exemple

Troba la distància entre els plans següents:

$π : 2 x - 4 y + 4 z + 3 = 0 π^{'} : x - 2 y + 2 z - 1 = 0$

Comprovem que els plans siguin paral·lels: $\frac{2}{1} = \frac{- 4}{- 2} = \frac{4}{2}$

Efectivament.

Per tant, podem prendre el punt $P^{'} = (1, 0, 0)$ pertanyent a $π^{'}$ i fer: $d (π, π^{'}) = d (P^{'}, π) = \frac{| 2 \cdot 1 - 4 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 |}{\sqrt{2^{2} + (- 4)^{2} + 4^{2}}} = \frac{5}{6}$

Una altra bona manera de calcular la distància entre plans paral·lels, si els tenim expressats com:

$π : A x + B y + C z + D = 0 π^{'} : A x + B y + C z + D^{'} = 0$

consisteix a utilitzar la seva distància a l'origen de coordenades, cosa que permet obtenir la següent expressió:

$$$ \text{d}(\pi,\pi') = \dfrac{|D-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$