Distancia de un punto a un plano en el espacio

La distancia entre un punto $P$ y un plano $π$ , $d (P, π)$ , es la mínima de las distancias entre $P$ y un punto cualquiera del plano.

Si $P$ es un punto del plano $π$ , entonces la distancia es cero.
Si $P$ no es un punt del plano $π$ , la distancia de $P$ a $π$ es el módulo del vector $\vec{P P^{'}}$ , donde $P^{'}$ la proyección ortogonal de $P$ sobre el plano $π$ .

Sin embargo, existe una fórmula mucho más práctica (de obtención un poco engorrosa) que presentamos a continuación:

Sea $P = (p_{1}, p_{2}, p_{3})$ y sea $π : A x + B y + C z + D = 0$ . Entonces,

$d (P, π) = \frac{| A \cdot p_{1} + B \cdot p_{2} + C \cdot p_{3} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Ejemplo

Calcula la distancia del punto $P = (- 2, 0, 3)$ al plano $π : 4 x + 2 y - 4 z + 3 = 0$ .

Podemos aplicar directamente la fórmula: $d (P, π) = \frac{| A \cdot p_{1} + B \cdot p_{2} + C \cdot p_{3} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = \frac{| 4 \cdot (- 2) + 2 \cdot 0 - 4 \cdot 3 + 3 |}{\sqrt{4^{2} + 2^{2} + (- 4)^{2}}} = \frac{17}{6}$