Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia entre un punto $P$ y una recta $r$ , $d (P, r)$ es la mínima de las distancias entre $P$ y un punto cualquiera de la recta $r$ .

Si $P$ es un punto de la recta $r$ , la distancia es cero.
Si $P$ no es un punto de la recta $r$ , la distancia de $P$ a $r$ es el módulo del vector $\vec{P P^{'}}$ , donde $P^{'}$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre la recta $r$ .

Sin embargo, existe una manera más sencilla de calcular la distancia de un punto $P$ a una recta $r$ si el punto no pertenece a la recta. Consideremos un punto $Q$ sobre la recta $r$ y el vector director de la recta, $\vec{v}$ . El área del paralelogramo determinado por el vector $\vec{Q P}$ y por $\vec{v}$ es el módulo del producto vectorial de ambos vectores: $S_{p} = | \vec{Q P} \times \vec{v} |$

Pero el área de un paralelogramo también viene dada por el producto de la base por la altura. Entonces: $| S_{p} = | \vec{v} | \cdot d (P, r)$

Por tanto, $d (P, r) = \frac{| \vec{Q P} \times \vec{v} |}{| \vec{v} |}$

Ejemplo

Calcula la distancia del punto $P = (2, 4, 1)$ a la recta $r : (x, y, z) = (2, 3, - 1) + k \cdot (1, 2, 1)$ .

Cogemos un punto de la recta, por ejemplo $Q = (2, 3, - 1)$ . Ahora deberemos calcular el producto vectorial del vector $\vec{Q P}$ per $\vec{v}$ .

$\vec{Q P} = (0, 1, 2)$

$\begin{aligned} | \vec{Q P} \times \vec{v} | = & | | \begin{array}{c} i & j & k \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} | | = | i + 2 j - k - 4 i | = | - 3 i + 2 j - k | \\ = & | (- 3, 2, - 1) | = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \end{aligned}$

y ya podemos aplicar la fórmula:

$d (P, r) = \frac{| \vec{Q P} \times \vec{v} |}{| \vec{v} |} = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{7}{3}}$