La distancia entre un punto $$P$$ y una recta $$r$$, $$\text{d}(P,r)$$ es la mínima de las distancias entre $$P$$ y un punto cualquiera de la recta $$r$$.
- Si $$P$$ es un punto de la recta $$r$$, la distancia es cero.
- Si $$P$$ no es un punto de la recta $$r$$, la distancia de $$P$$ a $$r$$ es el módulo del vector $$\overrightarrow{PP'}$$, donde $$P'$$ es la proyección ortogonal de $$P$$ sobre la recta $$r$$.
Sin embargo, existe una manera más sencilla de calcular la distancia de un punto $$P$$ a una recta $$r$$ si el punto no pertenece a la recta. Consideremos un punto $$Q$$ sobre la recta $$r$$ y el vector director de la recta, $$\vec{v}$$. El área del paralelogramo determinado por el vector $$\overrightarrow{QP}$$ y por $$\vec{v}$$ es el módulo del producto vectorial de ambos vectores: $$$S_p=|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|$$$
Pero el área de un paralelogramo también viene dada por el producto de la base por la altura. Entonces: $$$|S_p=|\vec{v}|\cdot\text{d}(P,r)$$$
Por tanto, $$$\text{d}(P,r)=\dfrac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}$$$
Calcula la distancia del punto $$P = (2, 4, 1)$$ a la recta $$r: (x, y, z) = (2, 3, -1) + k\cdot(1, 2, 1)$$.
Cogemos un punto de la recta, por ejemplo $$Q = (2, 3, -1)$$. Ahora deberemos calcular el producto vectorial del vector $$\overrightarrow{QP}$$ per $$\vec{v}$$.
$$\overrightarrow{QP}=(0,1,2)$$
$$\begin{array}{rl} |\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|=& \left| \begin{vmatrix} i & j & k \\ 0& 1& 2 \\ 1& 2& 1 \end{vmatrix} \right| = |i+2j-k-4i|=|-3i+2j-k| \\ =& |(-3,2,-1)|=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14} \end{array}$$
y ya podemos aplicar la fórmula:
$$$\text{d}(P,r)=\dfrac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}= \dfrac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\dfrac{7}{3}}$$$