Distancia entre dos puntos en el espacio

Dados dos puntos en el espacio $A = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ y $B = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ se define la distancia entre ellos de la siguiente manera:

La distancia entre los puntos $A$ y $B$ es el módulo del vector $\vec{A B}$ ,

$d (A, B) = | \vec{A B} | = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}}$

Esta distancia cumple las propiedades siguientes:

$d (A, B) ⩾ 0$ y $d (A, B) = 0 \Leftrightarrow A = B$ (Definida positiva)
$d (A, B) = d (B, A)$ (Simétrica)
$d (A, B) ⩽ d (A, C) + d (C, B)$ (Desigualdad triangular)

A partir de aquí determinaremos la distancia entre dos elementos cualesquiera del espacio a partir de la distancia entre dos puntos, teniendo en cuenta que siempre se cogerá la distancia más pequeña posible entre puntos de uno y otro elemento.

Ejemplo

Calcula la distancia entre los puntos $A = (0, 2, 0)$ y $B = (7, 2, - 1)$ .

Podemos aplicar la fórmula directamente:

$\begin{aligned} d (A, B) = & | \vec{A B} | = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}} \\ = & \sqrt{(7 - 0)^{2} + (2 - 2)^{2} + (- 1 - 0)^{2}} = \sqrt{50} \end{aligned}$