La distància entre un punt $$P$$ i un pla $$\pi$$, $$\text{d}(P,\pi)$$, és la mínima de les distàncies entre $$P$$ i un punt qualsevol del pla.
- Si $$P$$ és un punt del pla $$\pi$$, llavors la distància és zero.
- Si $$P$$ no és un punt del pla $$\pi$$, la distància de $$P$$ a $$\pi$$ és el mòdul del vector $$\overrightarrow{PP'}$$, on $$P'$$ és la projecció ortogonal de $$P$$ sobre el pla $$\pi$$.
No obstant això, hi ha una fórmula molt més pràctica (d'obtenció una mica molesta) que presentem a continuació:
Sigui $$P =(p_1,p_2,p_3)$$ i sigui $$\pi: Ax+By+Cz+D = 0$$. Llavors,
$$$\text{d}(P,\pi)=\dfrac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C\cdot p_3+D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$$
Calcula la distància del punt $$P=(-2,0,3)$$ al pla $$\pi:4x+2y-4z+3=0$$.
Podem aplicar directament la fórmula: $$$\text{d}(P,\pi)=\dfrac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C\cdot p_3+D|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \dfrac{|4\cdot(-2)+2\cdot0-4\cdot3+3|}{\sqrt{4^2+2^2+(-4)^2}} = \dfrac{17}{6}$$$