Distància d'un punt a un pla a l'espai

La distància entre un punt $P$ i un pla $\pi$, $\text{d}(P,\pi )$, és la mínima de les distàncies entre $P$ i un punt qualsevol del pla.

• Si $P$ és un punt del pla $\pi$, llavors la distància és zero.
• Si $P$ no és un punt del pla $\pi$, la distància de $P$ a $\pi$ és el mòdul del vector $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}$, on $P^{\prime }$ és la projecció ortogonal de $P$ sobre el pla $\pi$.

No obstant això, hi ha una fórmula molt més pràctica (d'obtenció una mica molesta) que presentem a continuació:

Sigui $P=(p_1,p_2,p_3)$ i sigui $\pi :Ax+By+Cz+D=0$. Llavors,

$$\text{d}(P,\pi )={\displaystyle \frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C\cdot p_3+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}$$