Distància entre recta i pla a l'espai

Fixem-nos en les posicions relatives entre una recta $r$ i un pla $π$ per calcular la distància entre ells:

Si la recta està inclosa en el pla o si la recta i el plans són secants, la distància entre ambdós és zero, $d (r, π) = 0$
Si la recta i el pla són paral·lels, la distància entre ambdós es calcula prenent un punt $P$ de la recta i calculant la distància de $P$ al pla. $d (r, π) = d (P, π) on P \in r$

Exemple

Trobeu la distància entre la recta $r : x - 2 = y = z + 1$ i el pla $π : x + y - 2 z + 3 = 0$ .

Comprovem que el pla i la recta són paral·lels mitjançant el producte escalar entre el vector director $\vec{v}$ de la recta i el vector normal al pla $\vec{n}$ . Si recta i pla són paral·lels el producte escalar serà nul: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (1, 1, 1) \cdot (1, 1, - 2) = 1 + 1 - 2 = 0$

Efectivament són paral·lels així que busquem un punt de la recta, $Q = (2, 0, - 1)$ , i apliquem la fórmula: $d (r, π) = d (P, π) = \frac{| 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) + 3 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + (- 2)^{2}}} = \frac{7}{\sqrt{6}}$