Fixem-nos en les posicions relatives entre una recta $$r$$ i un pla $$\pi$$ per calcular la distància entre ells:
- Si la recta està inclosa en el pla o si la recta i el plans són secants, la distància entre ambdós és zero, $$\text{d}(r,\pi)= 0$$
- Si la recta i el pla són paral·lels, la distància entre ambdós es calcula prenent un punt $$P$$ de la recta i calculant la distància de $$P$$ al pla. $$$\text{d}(r,\pi)=\text{d}(P,\pi) \quad \text{ on } P\in r$$$
Trobeu la distància entre la recta $$r:x-2=y=z+1$$ i el pla $$\pi:x+y-2z+3=0$$.
Comprovem que el pla i la recta són paral·lels mitjançant el producte escalar entre el vector director $$\vec{v}$$ de la recta i el vector normal al pla $$\vec{n}$$. Si recta i pla són paral·lels el producte escalar serà nul: $$$\vec{v}\cdot\vec{n}=(1,1,1)\cdot(1,1,-2)=1+1-2=0$$$
Efectivament són paral·lels així que busquem un punt de la recta, $$Q=(2,0,-1)$$, i apliquem la fórmula: $$$\text{d}(r,\pi)=\text{d}(P,\pi)=\dfrac{|1\cdot2+1\cdot0-2\cdot(-1)+3|} {\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}}=\dfrac{7}{\sqrt{6}}$$$