Distancia entre recta y plano en el espacio

Fijémonos en las posiciones relativas entre una recta y un plano para calcular la distancia entre ellos:

Si la recta esta incluida en el plano o si la recta y el planos son secantes, la distancia entre ambos es cero, $d (r, π) = 0$
Si la recta y el plano son paralelos, la distancia entre ambos se calcula tomando un punto $P$ de la recta y calculando la distancia de $P$ al plano. $d (r, π) = d (P, π) donde P \in r$

Ejemplo

Encontrad la distancia entre la recta $r : x - 2 = y = z + 1$ y el plano $π : x + y - 2 z + 3 = 0$ .

Comprobamos que el plano y la recta son paralelos mediante el producto escalar entre el vector director $\vec{v}$ de la recta y el vector normal al plano $\vec{n}$ . Si recta y plano son paralelos dicho producto escalar será nulo: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (1, 1, 1) \cdot (1, 1, - 2) = 1 + 1 - 2 = 0$

Efectivamente son paralelos así que buscamos un punto de la recta, $Q = (2, 0, - 1)$ , y aplicamos la fórmula: $d (r, π) = d (P, π) = \frac{| 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 - 2 \cdot (- 1) + 3 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + (- 2)^{2}}} = \frac{7}{\sqrt{6}}$