Exercicis de Distància entre dues rectes a l'espai

Calcula la distància entre les dues rectes:

$r : (x, y, z) = (2, 1, 3) + k \cdot (2, 1, - 1)$

$r^{'} : (x, y, z) = (- 1, - 1, 4) + k \cdot (1, 3, - 2)$

Desenvolupament:

Comencem determinant la posició relativa de les rectes.

Primer comprovem que els vectors directors no siguin linealment dependents: $\begin{array}{l} \vec{v} = (2, - 1, 1) \\ {\vec{v}}^{'} = (1, 3, - 2) \end{array}} \Rightarrow \frac{2}{1} \neq \frac{- 1}{3} \neq \frac{1}{- 2}$

Les rectes $r$ i $r^{'}$ es tallen o es creuen.

Agafem un punt $A$ de $r$ i un punt $A^{'}$ de $r^{'}$ , i veiem si ${\vec{A A^{'}}, \vec{v}, {\vec{v}}^{'}}$ són linealment dependents o independents: $\begin{array}{l} A = (2, 1, 3) \\ A^{'} = (- 1, - 1, 4) \end{array}} \Rightarrow \vec{A A^{'}} = (- 3, - 2, 1)$

$| \begin{matrix} 2 & 1 & - 3 \\ - 1 & 3 & - 2 \\ 1 & - 2 & 1 \end{matrix} | = 0 \Rightarrow rang ({\vec{A A^{'}}, \vec{v}, {\vec{v}}^{'}}) = 0$

Per tant les rectes $r$ i $r^{'}$ es tallen i $d (r, r^{'}) = 0$ .

Solució:

$d (r, r^{'}) = 0$

Amagar desenvolupament i solució