Donada la recta $$r:-3x+4y-1=0$$, trobeu les rectes es paral·leles a $$r$$ i situades a una distància de $$10$$ de $$r$$.
Desenvolupament:
D'entrada, és obvi que hi hauran dues rectes paral·leles a $$r$$ i a una distància de $$10$$. Una estarà situada a un costat de $$r$$ i l'altra recta a l'altre costat de $$r$$.
Si les rectes buscades són de la forma $$Ax + By + C = 0$$, la condició de paral·lelisme amb $$r$$ ens imposa que $$A =-3$$ y $$B = 4$$. Així tenim, $$$-3x + 4y + C = 0$$$
Si ara imposem la condició de distància, és a dir, $$d(r,s)=10$$, tenim: $$$d(r,s)=10=\dfrac{|C'-C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\dfrac{|C'-(-1)|}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}=\dfrac{|C'+1|}{\sqrt{25}}=\dfrac{|C'+1|}{5}$$$ $$$|C'+1|=50$$$ D'on tenim 2 solucions a causa de la presència del valor absolut: $$$C'+1=50 \rightarrow C' = 49$$$ $$$C' + 1 = - 50 \rightarrow C' =-51$$$ Així, les rectes $$s$$ buscades són: $$$s:-3x + 4y + 49 = 0$$$ $$$s':-3x + 4y - 51 = 0$$$
Solució:
$$s:-3x + 4y + 49 = 0$$
$$s':-3x + 4y - 51 = 0$$