Distància entre dues rectes

La distància entre dues rectes, $$r$$ i $$s$$, és la mínima distància entre un punt qualsevol de $$r$$ i un punt qualsevol de $$s$$.

• Si les rectes són secants o coincidents, la seva distància és, evidentment, zero. És a dir, $$d (r, s) = 0$$.
• Si les rectes són paral·leles, la distància entre $$r$$ i $$s$$ és la distància d'un punt de qualsevol de les dues rectes a l'altra.

Per trobar l'expressió analítica de la distància de $$r$$ i $$s$$, suposarem que tenim $$r: Ax + By + C = 0$$ i $$s: Ax + By + C' = 0$$. Com que les rectes han de tenir vectors directors paral·lels, en particular podem suposar que tenen el mateix i per això $$A = A'$$ i $$B = B'$$.

Com les rectes no poden ser coincidents evidentment tindrem $$C\neq C'$$.

Sigui ara $$P =(p_1,p_2)$$ un punt pertanyent a la recta $$r$$. Aleshores tenim: $$$\displaystyle d(r,s)=d(P,s)=\frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C'|}{\sqrt{A^2+b^2}}$$$ Però com $$P$$ pertany a la recta $$r$$ tenim: $$$A\cdot a_1+B\cdot a_2+C=0 \Leftarrow A\cdot a_1+B\cdot a_2=-C$$$ substituint, $$$d(r,s)=d(P,S)=\displaystyle \frac{|C'-C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$$