Distància entre dues rectes

La distància entre dues rectes, $r$ i $s$ , és la mínima distància entre un punt qualsevol de $r$ i un punt qualsevol de $s$ .

Si les rectes són secants o coincidents, la seva distància és, evidentment, zero. És a dir, $d (r, s) = 0$ .
Si les rectes són paral·leles, la distància entre $r$ i $s$ és la distància d'un punt de qualsevol de les dues rectes a l'altra.

Per trobar l'expressió analítica de la distància de $r$ i $s$ , suposarem que tenim $r : A x + B y + C = 0$ i $s : A x + B y + C^{'} = 0$ . Com que les rectes han de tenir vectors directors paral·lels, en particular podem suposar que tenen el mateix i per això $A = A^{'}$ i $B = B^{'}$ .

Com les rectes no poden ser coincidents evidentment tindrem $C \neq C^{'}$ .

Sigui ara $P = (p_{1}, p_{2})$ un punt pertanyent a la recta $r$ . Aleshores tenim: $d (r, s) = d (P, s) = \frac{| A \cdot p_{1} + B \cdot p_{2} + C^{'} |}{\sqrt{A^{2} + b^{2}}}$ Però com $P$ pertany a la recta $r$ tenim: $A \cdot a_{1} + B \cdot a_{2} + C = 0 \Leftarrow A \cdot a_{1} + B \cdot a_{2} = - C$ substituint, $d (r, s) = d (P, S) = \frac{| C^{'} - C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

Exemple

Calculeu la distància entre les rectes $r : 2 x + 3 y - 4 = 0$ i $s : - 4 x - 6 y + 24 = 0$ .

D'entrada dividim l'equació de la recta $s$ per $- 2$ : $s : 2 x + 3 y - 12 = 0$ Ara estem en condicions d'aplicar la fórmula: $d (r, s) = d (P, s) = \frac{| C^{'} - C |}{\sqrt{A^{2} + b^{2}}} = \frac{| - 4 - (- 12) |}{\sqrt{2^{2} + 3^{2}}} = \frac{8}{\sqrt{13}}$