Distancia entre dos rectas

La distancia entre dos rectas, $r$ y $s$ , es la mínima distancia entre un punto cualquiera de $r$ y un punto cualquiera de $s$ .

Si las rectas son secantes o coincidentes, su distancia es, evidentemente, cero. Es decir, $d (r, s) = 0$ .
Si las rectas son paralelas, la distancia entre $r$ y $s$ es la distancia de un punto de cualquiera de las dos rectas a la otra.

Para encontrar la expresión analítica de la distancia de $r$ a $s$ , supondremos que tenemos $r : A x + B y + C = 0$ y $s : A x + B y + C^{'} = 0$ . Como las rectas han de tener vectores directores paralelos, en particular podemos suponer que tienen el mismo y por eso $A = A^{'}$ y $B = B^{'}$ .

Como las rectas no pueden ser coincidentes evidentemente tendremos $C \neq C^{'}$ .

Sea ahora $P = (p_{1}, p_{2})$ un punto perteneciente a la recta $r$ . Entonces tenemos: $d (r, s) = d (P, s) = \frac{| A \cdot p_{1} + B \cdot p_{2} + C^{'} |}{\sqrt{A^{2} + b^{2}}}$ Pero como $P$ pertenece a la recta $r$ se tiene $A \cdot a_{1} + B \cdot a_{2} + C = 0 \Leftarrow A \cdot a_{1} + B \cdot a_{2} = - C$ sustituyendo, $d (r, s) = d (P, S) = \frac{| C^{'} - C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

Ejemplo

Calculad la distancia entre las rectas $r : 2 x + 3 y - 4 = 0$ y $s : - 4 x - 6 y + 24 = 0$ .

De entrada dividimos la ecuación de la recta $s$ por $- 2$ : $s : 2 x + 3 y - 12 = 0$ Ahora estamos en condiciones de aplicar la fórmula: $d (r, s) = d (P, s) = \frac{| C^{'} - C |}{\sqrt{A^{2} + b^{2}}} = \frac{| - 4 - (- 12) |}{\sqrt{2^{2} + 3^{2}}} = \frac{8}{\sqrt{13}}$