Ejercicios de Distancia entre dos rectas

Desarrollo:

De entrada, es obvio que tendremos dos rectas paralelas a $r$ y a una distancia de $10$. Una estará situada a un lado de $r$ y la otra al otro.

Si las rectas buscadas son de la forma $Ax+By+C=0$, la condición de paralelismo con $r$ nos impone que $A=-3$ y $B=4$. Así tenemos, $$-3x+4y+C=0$$

Si ahora imponemos la condición de distancia, es decir, $d(r,s)=10$, tenemos: $$d(r,s)=10={\displaystyle \frac{|C^{\prime }-C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}={\displaystyle \frac{|C^{\prime }-(-1)|}{\sqrt{(-3{)}^2+4^2}}}={\displaystyle \frac{|C^{\prime }+1|}{\sqrt{25}}}={\displaystyle \frac{|C^{\prime }+1|}{5}}$$ $$|C^{\prime }+1|=50$$ De donde tenemos 2 soluciones debido a la presencia del valor absoluto: $$C^{\prime }+1=50\to C^{\prime }=49$$ $$C^{\prime }+1=-50\to C^{\prime }=-51$$ Así, las rectas $s$ buscadas son: $$s:-3x+4y+49=0$$ $$s^{\prime }:-3x+4y-51=0$$

Solución:

$s:-3x+4y+49=0$

$s^{\prime }:-3x+4y-51=0$

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