Distancia entre un punto y una recta

La distancia entre un punto $P$ y una recta $r$ , es el mínimo de las distancias entre $P$ y un punto cualquiera de la recta.

Podemos distinguir dos casos:

Si $P$ pertenece a la recta $r$ , $d (P, r) = 0$ .
Si $P$ no pertenece a la recta $r$ , $d (P, r)$ es el módulo del vector $\vec{Q P}$ , donde $Q$ es el punto de intersección entre la recta $r$ y la perpendicular a $r$ que pasa por $P$ .

Sea $A x + B y + C = 0$ la ecuación general de la recta $r$ , $P = (p_{1}, p_{2})$ el punto dado y $A = (a_{1}, a_{2})$ un punto cualquiera de la recta.

Si tomamos un vector perpendicular a $r$ , por ejemplo $\vec{n} = (A, B)$ por las propiedades del producto escalar en la proyección de vectores tenemos: $d (P, r) = \frac{| \vec{A P} \cdot \vec{n} |}{\vec{n}} = \frac{| A \cdot p_{1} + B \cdot p_{2} - (A \cdot a_{1} + B \cdot a_{2}) |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ Pero como $A = (a_{1}, a_{2})$ es un punto de la recta $r$ , tenemos que verificar su ecuación: $A \cdot a_{1} + B \cdot a_{2} + C = 0 \leftarrow A \cdot a_{1} + B \cdot a_{2} = C$ Por tanto obtenemos la siguiente fórmula: $d (P, r) = \frac{| A \cdot p_{1} + B \cdot p_{2} + C |}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

Ejemplo

Sea $P = (- 1, 2)$ un punto y $r : 4 x - 3 y + 1 = 0$ una recta. Calculad la distancia entre el punto y la recta.

Aplicando la fórmula tenemos: $d (P, r) = \frac{A \cdot p_{1} + B \cdot p_{2} + C}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \frac{| 4 \cdot (- 1) + (- 3) \cdot 2 + 1 |}{\sqrt{4^{2} + (- 3)^{2}}} = \frac{9}{5}$