Distància entre un punt i una recta

La distància entre un punt $P$ i una recta $r$, és el mínim de les distàncies entre $P$ i un punt de la recta.

Podem distingir dos casos:

• Si $P$ pertany a la recta $r$, $d(P,r)=0$.
• Si $P$ no pertany a la recta $r$, $d(P,r)$ és el mòdul del vector $\overrightarrow{QP}$, on $Q$ és el punt d'intersecció entre la recta $r$ i la perpendicular a $r$ que passa per $P$.

Sigui $Ax+By+C=0$ l'equació general de la recta $r$, $P=(p_1,p_2)$ el punt donat i $A=(a_1,a_2)$ un punt qualsevol de la recta.

Si prenem un vector perpendicular a $r$, per exemple $\overrightarrow{n}=(A,B)$ per les propietats del producte escalar en la projecció de vectors tenim: $${\displaystyle d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{n}|}{\overrightarrow{n}}=\frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2-(A\cdot a_1+B\cdot a_2)|}{\sqrt{A^2+B^2}}}$$ Però com $A=(a_1,a_2)$ és un punt de la recta $r$, hem de verificar l'equació: $$A\cdot a_1+B\cdot a_2+C=0\leftarrow A\cdot a_1+B\cdot a_2=C$$ Per tant obtenim la següent fórmula: $$d(P,r)={\displaystyle \frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}$$