Distància entre un punt i una recta

La distància entre un punt $$P$$ i una recta $$r$$, és el mínim de les distàncies entre $$P$$ i un punt de la recta.

Podem distingir dos casos:

• Si $$P$$ pertany a la recta $$r$$, $$d (P, r) = 0$$.
• Si $$P$$ no pertany a la recta $$r$$, $$d (P, r)$$ és el mòdul del vector $$\overrightarrow{QP}$$, on $$Q$$ és el punt d'intersecció entre la recta $$r$$ i la perpendicular a $$r$$ que passa per $$P$$.

Sigui $$Ax + By + C = 0$$ l'equació general de la recta $$r$$, $$P =(p_1,p_2)$$ el punt donat i $$A =(a_1,a_2)$$ un punt qualsevol de la recta.

Si prenem un vector perpendicular a $$r$$, per exemple $$\overrightarrow{n} = (A, B)$$ per les propietats del producte escalar en la projecció de vectors tenim: $$$\displaystyle d(P,r)=\frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{n}|}{\overrightarrow{n}}=\frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2-(A\cdot a_1+B\cdot a_2)|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$$ Però com $$A = (a_1,a_2)$$ és un punt de la recta $$r$$, hem de verificar l'equació: $$$A\cdot a_1+B\cdot a_2+C=0 \leftarrow A\cdot a_1+B\cdot a_2=C$$$ Per tant obtenim la següent fórmula: $$$d(P,r)=\displaystyle \frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$$