Exercicis de El polígon regular

Desenvolupament:

1. Es defineix un radi $r=10.$

2. L'hexàgon està format per $6$ triangles equilàters. Si es dibuixa la figura, s'observa que dos dels costats de cada triangle equilàter coincideixen amb el radi de la circumferència. Es tracta d'un triangle equilàter, el tercer costat, que coincideix amb el costat de l'hexàgon, serà igual al radi de la circumferència. Així doncs: $$l=10$$

3. Per trobar l'àrea de l'hexàgon, es calcula primer l'àrea d'un dels $6$ triangles que el composa i es multiplica per $6$.

Es troba l'altura $a$ d'un dels $6$ triangles:

$$l^2=a^2+({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2$$ $$a^2=l^2(1-{\displaystyle \frac{1}{4}})$$ $$a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot l$$

L'àrea d'un dels $6$ triangles és:

$$A_{triangle}={\displaystyle \frac{l\cdot a}{2}}=l^2{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}=25\sqrt{3}$$

I multiplicant per $6$ tenim que

$$A_{hexàgon}=150\sqrt{3}$$

1. L'àrea de la circumferència és: $$A_{circ}=100\pi$$

I el percentatge cobert per l'hexàgon serà:

$$100\cdot {\displaystyle \frac{A_{hex}}{A_{circ}}}=100\cdot {\displaystyle \frac{150\sqrt{3}}{100\pi }}=82,7\mathrm{\%}$$

Solució:

1. $r=10$
2. $l=10$
3. $A_{hexàgon}=150\sqrt{3}$
4. $82,7\mathrm{\%}$

Amagar desenvolupament i solució