Ejercicios de El polígono regular

Desarrollo:

1. Se define un radio $r=10.$

2. El hexágono está formado por $6$ triángulos equiláteros. Si se dibuja la figura, se observa que dos de los lados de cada triángulo equilátero coinciden con el radio de la circunferencia. Al tratarse de un triángulo equilátero, el tercer lado, que coincide con el lado del hexágono, será igual al radio de la circunferencia. Así pues: $$l=10$$

3. Para encontrar el área del hexágono, se calcula primero el área de uno de los $6$ triángulos que lo compone y se multiplica por $6$.

Se encuentra la altura $a$ de uno de los $6$ triángulos:

$$l^2=a^2+({\displaystyle \frac{1}{2}}{)}^2$$ $$a^2=l^2(1-{\displaystyle \frac{1}{4}})$$ $$a={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot l$$

El área de uno de los $6$ triángulos es

$$A_{triángulo}={\displaystyle \frac{l\cdot a}{2}}=l^2{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}=25\sqrt{3}$$

Y, multiplicando por $6$, se tiene que

$$A_{hexágono}=150\sqrt{3}$$

1. El área de la circunferencia es $$A_{circ}=100\pi$$

Y el porcentaje cubierto por el hexágono será

$$100\cdot {\displaystyle \frac{A_{hex}}{A_{circ}}}=100\cdot {\displaystyle \frac{150\sqrt{3}}{100\pi }}=82,7\mathrm{\%}$$

Solución:

1. $r=10$
2. $l=10$
3. $A_{hexágono}=150\sqrt{3}$
4. $82,7\mathrm{\%}$

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