El sistema sexagesimal i les seves operacions

El sistema sexagesimal és un sistema de numeració en el qual cada unitat es divideix en $60$ unitats més petites. En altres paraules, s'utilitza la base $60$.

Aquest sistema és l'utilitzat per a mesures de temps i d'angles.

$$1h\to 60\text{min}\to 60\cdot 60=3.600\text{s}$$ $$1^{\circ }\to {60}^{\prime }\to 60\cdot 60={3.600}^{″}$$

Operacions amb nombres sexagesimals

Suma

• Pas 1

Col·locar els dos nombres a sumar de la següent manera, i sumar columna per columna:

$\begin{array}{rcl}& & {38}^{\circ }{24}^{\prime }{55}^{″}\\ \\ & +& \underset{―}{{40}^{\circ }{49}^{\prime }{17}^{″}}\\ \\ & & {78}^{\circ }{73}^{\prime }{72}^{″}\end{array}$

• Pas 2

Si la suma de segons és superior a $60$, dividir el resultat per $60$; la resta seran els segons i el quocient es sumarà als minuts.

${\displaystyle \frac{72}{60}}=1+{\displaystyle \frac{12}{60}}$

És a dir, el residu és $12$ i el quocient $1$. El resultat s'escriu:

${78}^{\circ }(73+1{)}^{\prime }{12}^{″}={78}^{\circ }{74}^{\prime }{12}^{″}$

• Pas 3

Repetir el mateix procediment per als minuts:

${\displaystyle \frac{74}{60}}=1+{\displaystyle \frac{14}{60}}$

Llavors,

${78}^{\circ }{74}^{\prime }{12}^{″}={79}^{\circ }{14}^{\prime }{12}^{″}$

Resta

• Pas 1

Col·locar els dos nombres a restar un sobre l'altre, les hores sobre les hores (o els graus sobre els graus), els minuts sobre els minuts...

$\begin{array}{rcl}& & {52}^{\circ }{23}^{\prime }{18}^{″}\\ \\ & -& \underset{―}{{43}^{\circ }{49}^{\prime }{25}^{″}}\end{array}$

Si la resta de segons és menor que zero es sumen ${60}^{″}$ en els segons i es resta $1^{\prime }$ en els minuts del nombre de dalt,

${52}^{\circ }{23}^{\prime }{18}^{″}={52}^{\circ }{22}^{\prime }{78}^{″}$

$\begin{array}{rcl}& & {52}^{\circ }{22}^{\prime }{78}^{″}\\ \\ & -& \underset{―}{{43}^{\circ }{49}^{\prime }{25}^{″}}\\ \\ & & {53}^{″}\end{array}$

• Pas 2

Repetir el mateix procediment amb els minuts:

$\begin{array}{rcl}& & {51}^{\circ }{82}^{\prime }{78}^{″}\\ \\ & -& \underset{―}{{43}^{\circ }{49}^{\prime }{25}^{″}}\\ \\ & & 8^{\circ }{33}^{\prime }{23}^{″}\end{array}$

Nota: Es resta sempre el nombre més gran menys el nombre més petit. Si s'estan tractant amb angles es podria donar el cas que s'hagi de calcular un angle negatiu (es fa la resta amb valor més gran que zero i es canvia el signe).

Si s'opera amb mesures temporals no té massa sentit obtenir temps negatius. No obstant això en la resolució d'un problema en el qual es defineixi una referència de temps $t=0$, es pot obtenir un temps negatiu per a un instant anterior.

Multiplicació per un número

• Pas 1

Multiplicar segons, minuts i hores (o graus) pel número:

$\begin{array}{rcl}& & {51}^{\circ }{82}^{\prime }{78}^{″}\\ \\ & \times & 5\\ \\ & & \overline{{255}^{\circ }{410}^{\prime }{390}^{″}}\end{array}$

• Pas 2

Si s'obtenen més de $60$ segons, dividir per $60$ i el residu seran els segons i el quocient se sumarà als minuts.

${\displaystyle \frac{390}{60}}=6+{\displaystyle \frac{30}{60}}$

${255}^{\circ }{410}^{\prime }{390}^{″}={255}^{\circ }{416}^{\prime }{30}^{″}$

• Pas 3

Repetir el mateix procediment pels minuts,

${\displaystyle \frac{416}{60}}=\boxed{\text{6}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{56}}}{60}}$

$(255+\boxed{\text{6}}{)}^{\circ }{\boxed{\text{56}}}^{\prime }{30}^{″}={261}^{\circ }{56}^{\prime }{30}^{″}$

Divisió per un número

Es vol dividir ${37}^{\circ }{48}^{\prime }{25}^{″}$ per $5$

• Pas 1

Es comencen dividint les hores (o graus) pel número:

${\displaystyle \frac{37}{5}}=7+{\displaystyle \frac{2}{5}}$

El quocient, $7$, són les hores i el residu multiplicat per $60$, $(2\times 60)$, se sumarà als minuts.

• Pas 2

Es repeteix el mateix procediment amb els minuts,

${48}^{\prime }+{120}^{\prime }={168}^{\prime }$

${\displaystyle \frac{168}{5}}=33+{\displaystyle \frac{3}{5}}$

$33$ seran els minuts finals, i el residu multiplicat per $60$ se sumarà $(3\times 60)$ als segons.

• Pas 3

Per últim, es repeteix el mateix procediment amb els segons,

${25}^{″}+{180}^{″}={205}^{″}$

${\displaystyle \frac{205}{5}}=41$

Llavors, el resultat final serà:

$7^{\circ }{33}^{\prime }{41}^{″}$

Nota: L'última divisió podria donar un residu no nul. En aquest cas, els segons s'expressarien amb decimals.