Exercicis de Fraccions equivalents: simplificació i fracció irreductible

Desenvolupament:

Comencem mirant a quines fraccions és equivalent la fracció ${\displaystyle \frac{3}{4}}$. Per fer-ho, hem de comprovar-ho amb cadascuna de les altres fraccions:

• ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ i ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ no són equivalents ja que $3\cdot 5=15$ i $4\cdot 4=16$
• ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ i ${\displaystyle \frac{-3}{4}}$ no són equivalents ja que $3\cdot 4=12$ i $4\cdot (-3)=-12$
• ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ i ${\displaystyle \frac{4}{-3}}$ tampoc no són equivalents ja que $4\cdot 4=16$ i $3\cdot (-3)=-9$
• ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ i ${\displaystyle \frac{-3}{-4}}$ són equivalents ja que $3\cdot (-4)=4\cdot (-3).$
• ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ i ${\displaystyle \frac{12}{16}}$ són equivalents ja que ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3\cdot 4}{4\cdot 4}}={\displaystyle \frac{12}{16}}.$
• ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ i ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ són equivalents perquè tota fracció és equivalent a ella mateixa (propietat reflexiva).

A partir d'aquí, gracies a la propietat transitiva, tenim que les fraccions ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, ${\displaystyle \frac{-3}{-4}}$ i ${\displaystyle \frac{12}{16}}$ són equivalents i que les altres fraccions ${\displaystyle \frac{4}{5}}$, ${\displaystyle \frac{-3}{4}}$ i ${\displaystyle \frac{4}{-3}}$, no són equivalents a les anteriors. Encara hem de veure, però, si són equivalents entre elles: ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ no és equivalent a ${\displaystyle \frac{-3}{4}}$ ja que $4\cdot 4=16$ i $5\cdot (-3)=-15$, i tampoc ho és amb ${\displaystyle \frac{4}{-3}}$. Només queda provar la última parella ${\displaystyle \frac{-3}{4}}$ i ${\displaystyle \frac{4}{-3}}$, que tampoc són equivalents.

Solució:

Les fraccions ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, ${\displaystyle \frac{-3}{-4}}$ i ${\displaystyle \frac{12}{16}}$ són equivalentes. Les altres tres no ho són.

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

1. Primer hem de dividir $840$ entre $7$ i el resultat multiplicar-ho per $3$: $$(840:7)\cdot 3=120\cdot 3=360$$
2. $(-45:9)\cdot (-2)=-5\cdot (-2)=10$

Solució:

1. $360$
2. $10$

Amagar desenvolupament i solució

Desenvolupament:

1. Per a trobar la forma irreductible d'una fracció, hem de calcular primer les factoritzacions en nombres primers del seu numerador i denominador: $18=2\cdot 3^2$ i $24=2^3\cdot 3.$

   I per a l'altra fracció: $45=3^2\cdot 5$ i $50=2\cdot 5^2.$

   A continuació calculem el màxim comú divisor del numerador i denominador en cada cas: $mcd(18,24)=2\cdot 3=6$ i $mcd(45,50)=5.$

   I finalment, dividim numerador i denominador pel mcd: ${\displaystyle \frac{18}{24}}={\displaystyle \frac{18:6}{24:6}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ i ${\displaystyle \frac{45}{50}}={\displaystyle \frac{45:5}{50:5}}={\displaystyle \frac{9}{10}}$.

2. Per a passar del denominador $7$ a $-98$, és necessari multiplicar el $7$ per $-14$, ja que: $-98=-2\cdot 7^2=7\cdot (-14).$ Per tant, podem construir la fracció equivalent: ${\displaystyle \frac{-2}{7}}={\displaystyle \frac{-2\cdot (-14)}{7\cdot (-14)}}={\displaystyle \frac{28}{-98}}$.

Solució:

1. ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ i ${\displaystyle \frac{9}{10}},$ respectivament.
2. ${\displaystyle \frac{28}{-98}}.$

Amagar desenvolupament i solució