Fraccions equivalents: simplificació i fracció irreductible

Si considerem les fraccions 34 i 68 i les multipliquem pel mateix nombre enter, per exemple el 32, obtenim el mateix resultat en ambdós casos:

(32:4)(3)=8(3)=24 (32:(8))6=46=24

En aquest cas diem que les fraccions 34 i 68 són equivalents.

En aquestes fraccions comprovem que el producte del numerador de la primera amb el denominador de la segona és igual al producte del denominador de la primera pel numerador de la segona: 3(8)=46

En general, direm que dues fraccions de nombres enters ab i cd, amb b0 i c0, són equivalents si: ad=bc

Per a expressar que les fraccions ab i cd són equivalentes, escriurem: abcd o ab=cd.

La relació ser equivalent a definida sobre el conjunt de les fraccions de termes enters, té les propietats següents:

Propietat reflexiva

Tota fracció és equivalent a si mateixa, ab=ab ja que ab=ab.

Propietat simètrica

Si la fracció ab és equivalent a cd, aleshores la fracció cd és equivalent a ab.

Si ab=cd significa que ad=bc, aleshores, cb=da que significa cd=ab.

Propietat transitiva

Si una fracció és equivalent a una altra que alhora és equivalent a una tercera aleshores la primera és equivalent a la tercera:

ab=cdcd=nm} aleshores ab=nm

Pel fet de satisfer aquestes tres propietats, direm que la equivalencia entre fraccions és una relació d'equivalència que classifica en classes de fraccions equivalents. Una classe de fraccions equivalents és un conjunt de fraccions equivalents dos a dos o que qualsevol altra fracció que no sigui de la classe no és equivalent a cap d'elles.

Cadascuna d'aquestes classes d'equivalència és un nombre racional.

Obtenció de fraccions equivalents

Considerem la fracció ab i un nombre enter m distinto de cero. diferent de zero. Multiplicant el numerador i el denominador de la fracció ab per m ens dóna la fracció: ambm

Aquesta nova fracció és equivalent a ab, és a dir: ambm=ab atès que: (am)b=a(bm)

En general, tenim que si multipliquem el numerador i el denominador d'una fracció per un mateix nombre enter diferent de zero, obtenim una fracció nova, equivalent a la fracció donada.

Exemple

Considerem la fracció 12, gràficament, i sobre el quadrat:

imagen

És

imagen

Si multipliquem el numerador i el denominador de la fracció per m=3, ens queda: 12=1323=36, que gràficamente, sobre el mateix rectangle es correspon:

imagen

De tal forma que la part pintada és exactament la mateixa: així doncs les fraccions són equivalents!

Un cas molt important de fraccions equivalents, apareix en cas de tenir denominadors negatius, ja que, si volem interpretar la fracció com a divisió entre enters, tenir un divisor negatiu ens dificulta la feina així que podem multiplicar numerador i denominador per 1 i obtenim una fracció equivalent, però amb denominador positiu i, per tant, més fàcil d'operar.

Exemple

Si volem calcular 57 de 49, hem de fer (49:(7))5 que resulta un càlcul poc pràctic.

En canvi, la fracció 5(1)7(1)=57 és equivalent a la primera i és més pràctica: (49:7)(5)=7(5)=35

D'altra banda, la fracció 5(7)7(7)=3549 també és equivalent a l'anterior i els càlculs a realitzar són més senzills: (49:49)(35)=1(35)=35.

Considerem a continuació les fraccions 1020 i 24. Observem que són equivalents: 104=20(2)

Podem pensar que hem otingunt la primera a partir de la segona multiplicant el numerador i el denominador per m=5, o bé podem pensar que hem trobat la segona dividint per m=5 el numerador i el denominador de la primera.

En aquest cas direm que hem simplificat la fracció 1020 a 24.

Simplificar una fracció significa dividir numerador i denominador per un mateix nombre enter. Una fracció només es pot simplificar si numerador i denominador son divisibles per un mateix nombre.

Exemple

La fracció 412 es pot simplificar dividint numerador i denominador entre 2: 4:212:2=26

La fracció obtinguda és, en efecte, equivalent a la primera: 46=122 Però, encara es pot simplificar més aquesta fracció? La resposta es que sí, per exemple, podem tornar a dividir numerador i denominador entre dos:

2:26:2=13

I ara, pot simplificar-se més? Ara la resposta és que no, ja que no existeix cap nombre enter que divideixi exactament la unitat i el 3 (és a dir, 1 i 3 són coprimers).

Aquelles fraccions que no es poden simplificar diem que són irreductibles.

Formalment, direm que una fracció ab és irreductible si el numerador i el denominador són coprimers, és a dir, si m.c.d(a,b)=1.

Exemple

Si ens fixem en les fraccions 34 i 25, veiem que no es poden simplificar,cap de les dues, por ser tant 2, 3 i 5 nombres primers.

Així per a trobar la fracció equivalent a una donada, que sigui irreductible, hem de simplificar utilitzant l'algorisme del màxim comú divisor.

Exemple

Suposem que tenim la fracció 412. Per a simplificar-la hem de:

  1. Buscar el màxim comú divisor entre numerador i denominador. En el nostre cas, 4=22 i 12=223, així que m.c.d(4,12)=22=4
  2. Dividir numerador i denominador de la fracció pel seu mcd: 4:412:4=13

La fracció que trobem és una fracció equivalent a la primera 43=121

Gràficament

imagen

I és irreductible: m.c.d(1,3)=1.

Dues fraccions irreductibles diferents mai seran equivalents, i per tant cadascuna d'elles forma part d'una classe de representants diferent. Per aquest motiu, quan volem fer referencia a una classe sencera (que s'associa amb un nombre racional) utilitzem la seva fracció irreductible i l'anomenem representant de la classe o nombre racional.