Si considerem les fraccions
En aquest cas diem que les fraccions
En aquestes fraccions comprovem que el producte del numerador de la primera amb el denominador de la segona és igual al producte del denominador de la primera pel numerador de la segona:
En general, direm que dues fraccions de nombres enters
Per a expressar que les fraccions
La relació ser equivalent a definida sobre el conjunt de les fraccions de termes enters, té les propietats següents:
Propietat reflexiva
Tota fracció és equivalent a si mateixa,
Propietat simètrica
Si la fracció
Si
Propietat transitiva
Si una fracció és equivalent a una altra que alhora és equivalent a una tercera aleshores la primera és equivalent a la tercera:
Pel fet de satisfer aquestes tres propietats, direm que la equivalencia entre fraccions és una relació d'equivalència que classifica en classes de fraccions equivalents. Una classe de fraccions equivalents és un conjunt de fraccions equivalents dos a dos o que qualsevol altra fracció que no sigui de la classe no és equivalent a cap d'elles.
Cadascuna d'aquestes classes d'equivalència és un nombre racional.
Obtenció de fraccions equivalents
Considerem la fracció
Aquesta nova fracció és equivalent a
En general, tenim que si multipliquem el numerador i el denominador d'una fracció per un mateix nombre enter diferent de zero, obtenim una fracció nova, equivalent a la fracció donada.
Exemple
Considerem la fracció
És
Si multipliquem el numerador i el denominador de la fracció per
De tal forma que la part pintada és exactament la mateixa: així doncs les fraccions són equivalents!
Un cas molt important de fraccions equivalents, apareix en cas de tenir denominadors negatius, ja que, si volem interpretar la fracció com a divisió entre enters, tenir un divisor negatiu ens dificulta la feina així que podem multiplicar numerador i denominador per
Exemple
Si volem calcular
En canvi, la fracció
D'altra banda, la fracció
Considerem a continuació les fraccions
Podem pensar que hem otingunt la primera a partir de la segona multiplicant el numerador i el denominador per
En aquest cas direm que hem simplificat la fracció
Simplificar una fracció significa dividir numerador i denominador per un mateix nombre enter. Una fracció només es pot simplificar si numerador i denominador son divisibles per un mateix nombre.
Exemple
La fracció
La fracció obtinguda és, en efecte, equivalent a la primera:
I ara, pot simplificar-se més? Ara la resposta és que no, ja que no existeix cap nombre enter que divideixi exactament la unitat i el
Aquelles fraccions que no es poden simplificar diem que són irreductibles.
Formalment, direm que una fracció
Exemple
Si ens fixem en les fraccions
Així per a trobar la fracció equivalent a una donada, que sigui irreductible, hem de simplificar utilitzant l'algorisme del màxim comú divisor.
Exemple
Suposem que tenim la fracció
- Buscar el màxim comú divisor entre numerador i denominador. En el nostre cas,
i , així que - Dividir numerador i denominador de la fracció pel seu mcd:
La fracció que trobem és una fracció equivalent a la primera
Gràficament
I és irreductible:
Dues fraccions irreductibles diferents mai seran equivalents, i per tant cadascuna d'elles forma part d'una classe de representants diferent. Per aquest motiu, quan volem fer referencia a una classe sencera (que s'associa amb un nombre racional) utilitzem la seva fracció irreductible i l'anomenem representant de la classe o nombre racional.