Si considerem les fraccions $$\dfrac{-3}{4}$$ i $$\dfrac{6}{-8}$$ i les multipliquem pel mateix nombre enter, per exemple el $$32$$, obtenim el mateix resultat en ambdós casos:
$$$(32:4)\cdot(-3)=8\cdot(-3)=-24$$$ $$$(32:(-8))\cdot6=-4\cdot6=-24$$$
En aquest cas diem que les fraccions $$\dfrac{-3}{4}$$ i $$\dfrac{6}{-8}$$ són equivalents.
En aquestes fraccions comprovem que el producte del numerador de la primera amb el denominador de la segona és igual al producte del denominador de la primera pel numerador de la segona: $$$-3\cdot(-8)=4\cdot6$$$
En general, direm que dues fraccions de nombres enters $$\dfrac{a}{b}$$ i $$\dfrac{c}{d}$$, amb $$b\neq0$$ i $$c\neq0$$, són equivalents si: $$$a\cdot d=b\cdot c$$$
Per a expressar que les fraccions $$\dfrac{a}{b}$$ i $$\dfrac{c}{d}$$ són equivalentes, escriurem: $$\dfrac{a}{b} \backsim \dfrac{c}{d}$$ o $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}.$$
La relació ser equivalent a definida sobre el conjunt de les fraccions de termes enters, té les propietats següents:
Propietat reflexiva
Tota fracció és equivalent a si mateixa, $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b}$$ ja que $$a\cdot b=a\cdot b$$.
Propietat simètrica
Si la fracció $$\dfrac{a}{b}$$ és equivalent a $$\dfrac{c}{d}$$, aleshores la fracció $$\dfrac{c}{d}$$ és equivalent a $$\dfrac{a}{b}$$.
Si $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$ significa que $$a\cdot d=b \cdot c$$, aleshores, $$c \cdot b=d\cdot a$$ que significa $$\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}$$.
Propietat transitiva
Si una fracció és equivalent a una altra que alhora és equivalent a una tercera aleshores la primera és equivalent a la tercera:
$$$\left.\begin{array}{c} \dfrac{a}{b} & = & \frac{c}{d} \\ \frac{c}{d} & = & \frac{n}{m} \end{array}\right\} \ \mbox{aleshores} \ \dfrac{a}{b}=\dfrac{n}{m} $$$
Pel fet de satisfer aquestes tres propietats, direm que la equivalencia entre fraccions és una relació d'equivalència que classifica en classes de fraccions equivalents. Una classe de fraccions equivalents és un conjunt de fraccions equivalents dos a dos o que qualsevol altra fracció que no sigui de la classe no és equivalent a cap d'elles.
Cadascuna d'aquestes classes d'equivalència és un nombre racional.
Obtenció de fraccions equivalents
Considerem la fracció $$\dfrac{a}{b}$$ i un nombre enter $$m$$ distinto de cero. diferent de zero. Multiplicant el numerador i el denominador de la fracció $$\dfrac{a}{b}$$ per $$m$$ ens dóna la fracció: $$$\dfrac{a\cdot m}{b\cdot m}$$$
Aquesta nova fracció és equivalent a $$\dfrac{a}{b}$$, és a dir: $$$\dfrac{a\cdot m}{b\cdot m}=\dfrac{a}{b}$$$ atès que: $$$(a\cdot m)\cdot b= a \cdot (b \cdot m)$$$
En general, tenim que si multipliquem el numerador i el denominador d'una fracció per un mateix nombre enter diferent de zero, obtenim una fracció nova, equivalent a la fracció donada.
Considerem la fracció $$\dfrac{1}{2}$$, gràficament, i sobre el quadrat:
És
Si multipliquem el numerador i el denominador de la fracció per $$m=3$$, ens queda: $$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\cdot3}{2\cdot3}=\dfrac{3}{6}$$, que gràficamente, sobre el mateix rectangle es correspon:
De tal forma que la part pintada és exactament la mateixa: així doncs les fraccions són equivalents!
Un cas molt important de fraccions equivalents, apareix en cas de tenir denominadors negatius, ja que, si volem interpretar la fracció com a divisió entre enters, tenir un divisor negatiu ens dificulta la feina així que podem multiplicar numerador i denominador per $$-1$$ i obtenim una fracció equivalent, però amb denominador positiu i, per tant, més fàcil d'operar.
Si volem calcular $$\dfrac{5}{-7}$$ de $$49$$, hem de fer $$$(49:(-7))\cdot5$$$ que resulta un càlcul poc pràctic.
En canvi, la fracció $$$\dfrac{5\cdot(-1)}{-7\cdot(-1)}=\dfrac{-5}{7}$$$ és equivalent a la primera i és més pràctica: $$$(49:7)\cdot(-5)=7\cdot(-5)=-35$$$
D'altra banda, la fracció $$\dfrac{5\cdot(-7)}{-7\cdot(-7)}=\dfrac{-35}{49}$$ també és equivalent a l'anterior i els càlculs a realitzar són més senzills: $$(49:49)\cdot(-35)=1\cdot(-35)=-35$$.
Considerem a continuació les fraccions $$\dfrac{-10}{20}$$ i $$\dfrac{-2}{4}$$. Observem que són equivalents: $$$-10\cdot 4=20\cdot(-2)$$$
Podem pensar que hem otingunt la primera a partir de la segona multiplicant el numerador i el denominador per $$m=5$$, o bé podem pensar que hem trobat la segona dividint per $$m=5$$ el numerador i el denominador de la primera.
En aquest cas direm que hem simplificat la fracció $$\dfrac{-10}{20}$$ a $$\dfrac{-2}{4}$$.
Simplificar una fracció significa dividir numerador i denominador per un mateix nombre enter. Una fracció només es pot simplificar si numerador i denominador son divisibles per un mateix nombre.
La fracció $$\dfrac{4}{12}$$ es pot simplificar dividint numerador i denominador entre $$2$$: $$$\dfrac{4:2}{12:2}=\dfrac{2}{6}$$$
La fracció obtinguda és, en efecte, equivalent a la primera: $$$4\cdot6=12\cdot2$$$ Però, encara es pot simplificar més aquesta fracció? La resposta es que sí, per exemple, podem tornar a dividir numerador i denominador entre dos:
$$$\dfrac{2:2}{6:2}=\dfrac{1}{3}$$$
I ara, pot simplificar-se més? Ara la resposta és que no, ja que no existeix cap nombre enter que divideixi exactament la unitat i el $$3$$ (és a dir, $$1$$ i $$3$$ són coprimers).
Aquelles fraccions que no es poden simplificar diem que són irreductibles.
Formalment, direm que una fracció $$\dfrac{a}{b}$$ és irreductible si el numerador i el denominador són coprimers, és a dir, si $$m.c.d(a,b)=1.$$
Si ens fixem en les fraccions $$\dfrac{3}{4}$$ i $$\dfrac{2}{-5}$$, veiem que no es poden simplificar,cap de les dues, por ser tant $$2$$, $$3$$ i $$5$$ nombres primers.
Així per a trobar la fracció equivalent a una donada, que sigui irreductible, hem de simplificar utilitzant l'algorisme del màxim comú divisor.
Suposem que tenim la fracció $$\dfrac{4}{12}$$. Per a simplificar-la hem de:
- Buscar el màxim comú divisor entre numerador i denominador. En el nostre cas, $$4=2^2$$ i $$12=2^2\cdot3$$, així que $$$m.c.d(4,12)=2^2=4$$$
- Dividir numerador i denominador de la fracció pel seu mcd: $$$\dfrac{4:4}{12:4}=\dfrac{1}{3}$$$
La fracció que trobem és una fracció equivalent a la primera $$$4\cdot3=12\cdot1$$$
Gràficament
I és irreductible: $$m.c.d(1,3)=1$$.
Dues fraccions irreductibles diferents mai seran equivalents, i per tant cadascuna d'elles forma part d'una classe de representants diferent. Per aquest motiu, quan volem fer referencia a una classe sencera (que s'associa amb un nombre racional) utilitzem la seva fracció irreductible i l'anomenem representant de la classe o nombre racional.