Fracciones equivalentes: simplificación y fracción irreductible

Si tomamos las fracciones ${\displaystyle \frac{-3}{4}}$ y ${\displaystyle \frac{6}{-8}}$ y las aplicamos a un número entero, por ejemplo el $32$, obtenemos el mismo resultado en ambos casos:

$$(32:4)\cdot (-3)=8\cdot (-3)=-24$$ $$(32:(-8))\cdot 6=-4\cdot 6=-24$$

En este caso decimos que las fracciones ${\displaystyle \frac{-3}{4}}$ y ${\displaystyle \frac{6}{-8}}$ son equivalentes.

En estas fracciones comprobamos que el producto del numerador de la primera con el denominador de la segunda es igual al producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda: $$-3\cdot (-8)=4\cdot 6$$

En general, diremos que dos fracciones de números enteros ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ y ${\displaystyle \frac{c}{d}}$, con $b\ne 0$ y $c\ne 0$, son equivalentes si: $$a\cdot d=b\cdot c$$

Para expresar que las fracciones ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ y ${\displaystyle \frac{c}{d}}$ son equivalentes, escribiremos: ${\displaystyle \frac{a}{b}}\backsim {\displaystyle \frac{c}{d}}$ o ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}.$

La relación ser equivalente a definida sobre el conjunto de las fracciones de terminos enteros tiene las propiedades siguientes:

Propiedad reflexiva

Toda fracción es equivalente a si misma, ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{a}{b}}$ ya que $a\cdot b=a\cdot b$.

Propiedad simétrica

Si la fracción ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ es equivalente a ${\displaystyle \frac{c}{d}}$, entonces la fracción ${\displaystyle \frac{c}{d}}$ es equivalente a ${\displaystyle \frac{a}{b}}$.

Si ${\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{c}{d}}$ significa que $a\cdot d=b\cdot c$, entonces, lógicamente $c\cdot b=d\cdot a$ que significa ${\displaystyle \frac{c}{d}}={\displaystyle \frac{a}{b}}$.

Propiedad transitiva

Si una fracción es equivalente a otra, la cual es, a su vez, equivalente a una tercera entonces la primera es equivalente a la tercera:

$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{a}{b}}& =& \frac{c}{d}\\ \frac{c}{d}& =& \frac{n}{m}\end{array}\}\text{entonces}{\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{n}{m}}$$

Por el hecho de cumplir estas tres propiedades diremos que la equivalencia entre fracciones es una relación de equivalencia que clasifica las fracciones en clases de fracciones equivalentes. Una clase de fracciones equivalentes es un conjunto de fracciones todas ellas equivalentes dos a dos, y que cualquier otra facción que no sea del conjunto no es equivalente a ninguna de ellas. Cada una de estas clases de equivalencia es un número racional.

Obtención de fracciones equivalentes

Consideremos la fracción ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ y un número entero $m$ distinto de cero. Multiplicando el numerador y el denominador de la fracción ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ por $m$ nos resulta la fracción: ${\displaystyle \frac{a\cdot m}{b\cdot m}}$. Esta nueva fracción es equivalente a ${\displaystyle \frac{a}{b}}$, es decir: $${\displaystyle \frac{a\cdot m}{b\cdot m}}={\displaystyle \frac{a}{b}}$$ debido a que: $$(a\cdot m)\cdot b=a\cdot (b\cdot m)$$

En general, tenemos que si multiplicamos el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número entero distinto de cero, obtenemos una fracción nueva, equivalente a la fracción dada.

Un caso muy importante de fracciones equivalentes, aparece en caso de tener denominadores negativos, ya que, si queremos interpretar la fracción como división entre enteros, tener un divisor negativo nos dificulta mucho la tarea, así que podemos multiplicar numerador y denominador por $-1$ y obtenemos una fracción equivalente pero con denominador positivo, y por lo tanto, mucho más fácil de operar.

Simplificar una fracción significa dividir numerador y denominador por un mismo número entero. En una fracción solo puede simplificarse ambos términos que la forman si son divisibles por un mismo número.

Aquellas fracciones que no se pueden simplificar decimos que son irreductibles.

Formalmente, diremos que una fracción ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ es irreductible si el numerador y el denominador son coprimos, es decir, si $m.c.d(a,b)=1.$

Así que para encontrar la fracción equivalente a una dada, que sea irreductible, debemos simplificar usando el máximo común divisor.

Dos fracciones irreductibles distintas nunca serán equivalentes, y por lo tanto cada una de ellas forma parte de una clase de representantes distinta. Por este motivo, cuando nos queremos referir a una clase por entero (que se relaciona con un número racional) utilizamos su fracción irreductible y la llamamos representante de la clase, o del número racional.