Si tomamos las fracciones $$\dfrac{-3}{4}$$ y $$\dfrac{6}{-8}$$ y las aplicamos a un número entero, por ejemplo el $$32$$, obtenemos el mismo resultado en ambos casos:
$$$(32:4)\cdot(-3)=8\cdot(-3)=-24$$$ $$$(32:(-8))\cdot6=-4\cdot6=-24$$$
En este caso decimos que las fracciones $$\dfrac{-3}{4}$$ y $$\dfrac{6}{-8}$$ son equivalentes.
En estas fracciones comprobamos que el producto del numerador de la primera con el denominador de la segunda es igual al producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda: $$$-3\cdot(-8)=4\cdot6$$$
En general, diremos que dos fracciones de números enteros $$\dfrac{a}{b}$$ y $$\dfrac{c}{d}$$, con $$b\neq0$$ y $$c\neq0$$, son equivalentes si: $$$a\cdot d=b\cdot c$$$
Para expresar que las fracciones $$\dfrac{a}{b}$$ y $$\dfrac{c}{d}$$ son equivalentes, escribiremos: $$\dfrac{a}{b} \backsim \dfrac{c}{d}$$ o $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}.$$
La relación ser equivalente a definida sobre el conjunto de las fracciones de terminos enteros tiene las propiedades siguientes:
Propiedad reflexiva
Toda fracción es equivalente a si misma, $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b}$$ ya que $$a\cdot b=a\cdot b$$.
Propiedad simétrica
Si la fracción $$\dfrac{a}{b}$$ es equivalente a $$\dfrac{c}{d}$$, entonces la fracción $$\dfrac{c}{d}$$ es equivalente a $$\dfrac{a}{b}$$.
Si $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$$ significa que $$a\cdot d=b \cdot c$$, entonces, lógicamente $$c \cdot b=d\cdot a$$ que significa $$\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}$$.
Propiedad transitiva
Si una fracción es equivalente a otra, la cual es, a su vez, equivalente a una tercera entonces la primera es equivalente a la tercera:
$$$\left.\begin{array}{c} \dfrac{a}{b} & = & \frac{c}{d} \\ \frac{c}{d} & = & \frac{n}{m} \end{array}\right\} \ \mbox{entonces} \ \dfrac{a}{b}=\dfrac{n}{m} $$$
Por el hecho de cumplir estas tres propiedades diremos que la equivalencia entre fracciones es una relación de equivalencia que clasifica las fracciones en clases de fracciones equivalentes. Una clase de fracciones equivalentes es un conjunto de fracciones todas ellas equivalentes dos a dos, y que cualquier otra facción que no sea del conjunto no es equivalente a ninguna de ellas. Cada una de estas clases de equivalencia es un número racional.
Obtención de fracciones equivalentes
Consideremos la fracción $$\dfrac{a}{b}$$ y un número entero $$m$$ distinto de cero. Multiplicando el numerador y el denominador de la fracción $$\dfrac{a}{b}$$ por $$m$$ nos resulta la fracción: $$\dfrac{a\cdot m}{b\cdot m}$$. Esta nueva fracción es equivalente a $$\dfrac{a}{b}$$, es decir: $$$\dfrac{a\cdot m}{b\cdot m}=\dfrac{a}{b}$$$ debido a que: $$$(a\cdot m)\cdot b= a \cdot (b \cdot m)$$$
En general, tenemos que si multiplicamos el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número entero distinto de cero, obtenemos una fracción nueva, equivalente a la fracción dada.
Consideremos la fracción $$\dfrac{1}{2}$$, gráficamente, y sobre el cuadrado
Es
Si multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por $$m=3$$, nos queda: $$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\cdot3}{2\cdot3}=\dfrac{3}{6}$$, que gráficamente, sobre el mismo rectángulo es
De tal forma que la parte pintada es exactamente la misma: en efecto las fracciones son equivalentes!
Un caso muy importante de fracciones equivalentes, aparece en caso de tener denominadores negativos, ya que, si queremos interpretar la fracción como división entre enteros, tener un divisor negativo nos dificulta mucho la tarea, así que podemos multiplicar numerador y denominador por $$-1$$ y obtenemos una fracción equivalente pero con denominador positivo, y por lo tanto, mucho más fácil de operar.
Si queremos calcular $$\dfrac{5}{-7}$$ de $$49$$, debemos hacer $$$(49:(-7))\cdot5$$$ cálculo poco práctico. Sin embargo, la fracción $$$\dfrac{5\cdot(-1)}{-7\cdot(-1)}=\dfrac{-5}{7}$$$ es equivalente a la primera, y más práctica: $$$(49:7)\cdot(-5)=7\cdot(-5)=-35$$$ Por otra parte, la fracción $$$\dfrac{5\cdot(-7)}{-7\cdot(-7)}=\dfrac{-35}{49}$$$ también es equivalente a la anterior, y los cálculos a realizar son todavía más simples: $$$(49:49)\cdot(-35)=1\cdot(-35)=-35$$$
Consideremos a continuación las fracciones $$\dfrac{-10}{20}$$ y $$\dfrac{-2}{4}$$. Observemos que son equivalentes: $$$-10\cdot 4=20\cdot(-2)$$$ Podemos pensar que hemos obtenido la primera a partir de la segunda multiplicando numerador y denominador por $$m=5$$, o bien podemos pensar que hemos encontrando la segunda dividiendo por $$m=5$$ el numerador y el denominador de la primera. En esta caso diremos que hemos simplificado la fracción $$\dfrac{-10}{20}$$ a $$\dfrac{-2}{4}$$.
Simplificar una fracción significa dividir numerador y denominador por un mismo número entero. En una fracción solo puede simplificarse ambos términos que la forman si son divisibles por un mismo número.
La fracción $$\dfrac{4}{12}$$ se puede simplificar dividiendo numerador y denominador entre $$2$$.
$$$\dfrac{4:2}{12:2}=\dfrac{2}{6}$$$ La fracción obtenida es, en efecto, equivalente a la primera: $$$4\cdot6=12\cdot2$$$ Pero, ¿puede esta fracción simplificarse más? La respuesta es que sí, por ejemplo, podemos volver a dividir numerador y denominador entre dos: $$$\dfrac{2:2}{6:2}=\dfrac{1}{3}$$$
Y ahora, ¿puede simplificarse más? Y la respuesta es que no, ya que no existe ningún número entero que divida exactamente la unidad y el $$3$$ (es decir, $$1$$ y $$3$$ son coprimos).
Aquellas fracciones que no se pueden simplificar decimos que son irreductibles.
Formalmente, diremos que una fracción $$\dfrac{a}{b}$$ es irreductible si el numerador y el denominador son coprimos, es decir, si $$m.c.d(a,b)=1.$$
Si nos fijamos en las fracciones $$\dfrac{3}{4}$$ y $$\dfrac{2}{-5}$$, vemos que no se pueden simplificar, ninguna de las dos, por ser tanto $$2$$, $$3$$ y $$5$$ números primos.
Así que para encontrar la fracción equivalente a una dada, que sea irreductible, debemos simplificar usando el máximo común divisor.
Suponemos que tenemos la fracción $$\dfrac{4}{12}$$. Para simplificarla debemos:
- Buscar el máximo común divisor entre numerador y denominador. En nuestro caso, $$4=2^2$$ y $$12=2^2\cdot3$$, así que $$$m.c.d(4,12)=2^2=4$$$
- Dividir numerador y denominador de la fracción por su mcd:$$$\dfrac{4:4}{12:4}=\dfrac{1}{3}$$$
La fracción que encontramos es una fracción equivalente a la primera $$$4\cdot3=12\cdot1$$$
Gráficamente
Y es irreductible: $$m.c.d(1,3)=1$$.
Dos fracciones irreductibles distintas nunca serán equivalentes, y por lo tanto cada una de ellas forma parte de una clase de representantes distinta. Por este motivo, cuando nos queremos referir a una clase por entero (que se relaciona con un número racional) utilizamos su fracción irreductible y la llamamos representante de la clase, o del número racional.