Ejercicios de Fracciones equivalentes: simplificación y fracción irreductible

Desarrollo:

1. Primero debemos dividir $840$ entre $7$ y el resultado multiplicarlo por $3$: $$(840:7)\cdot 3=120\cdot 3=360$$
2. $(-45:9)\cdot (-2)=-5\cdot (-2)=10$

Solución:

1. $360$
2. $10$

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Desarrollo:

Empezamos mirando a qué fracciones es equivalente la fracción ${\displaystyle \frac{3}{4}}$. Para hacerlo debemos comprobarlo con cada una de las otras fracciones:

• ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ y ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ no son equivalentes pues $3\cdot 5=15$ y $4\cdot 4=16$
• ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ y ${\displaystyle \frac{-3}{4}}$ no son equivalentes pues $3\cdot 4=12$ y $4\cdot (-3)=-12$
• ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ y ${\displaystyle \frac{4}{-3}}$ tampoco son equivalentes pues $4\cdot 4=16$ y $3\cdot (-3)=-9$
• ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ y ${\displaystyle \frac{-3}{-4}}$ son equivalentes pues $3\cdot (-4)=4\cdot (-3).$
• ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ y ${\displaystyle \frac{12}{16}}$ son equivalentes ya que ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3\cdot 4}{4\cdot 4}}={\displaystyle \frac{12}{16}}.$
• ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ y ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ son equivalentes porque toda fracción es equivalente a si misma (propiedad reflexiva).

A partir de aquí, gracias a la propiedad transitiva, tenemos que las fracciones ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, ${\displaystyle \frac{-3}{-4}}$ y ${\displaystyle \frac{12}{16}}$ son equivalentes. Mientras que las otras tres, ${\displaystyle \frac{4}{5}}$, ${\displaystyle \frac{-3}{4}}$ y ${\displaystyle \frac{4}{-3}}$, sabemos que nos son equivalentes a las anteriores, pero todavía debemos comprobar que no son equivalentes entre ellas: ${\displaystyle \frac{4}{5}}$ no es equivalente a ${\displaystyle \frac{-3}{4}}$ pues $4\cdot 4=16$ y $5\cdot (-3)=-15$, como tampoco lo es con ${\displaystyle \frac{4}{-3}}$. Y finalmente, debemos comprobar la pareja ${\displaystyle \frac{-3}{4}}$ y ${\displaystyle \frac{4}{-3}}$, que tampoco son equivalentes.

Solución:

Las fracciones ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, ${\displaystyle \frac{-3}{-4}}$ y ${\displaystyle \frac{12}{16}}$ son equivalentes, mientras que las otras tres no los son.

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Desarrollo:

1. Para encontrar la forma irreductible de una fracción, debemos calcular primero las factorizaciones en primos de su numerador y denominador: $18=2\cdot 3^2$ y $24=2^3\cdot 3.$

   Y para la otra fracción: $45=3^2\cdot 5$ y $50=2\cdot 5^2.$

   A continuación calculamos el máximo común divisor del numerador y denominador en cada caso: $mcd(18,24)=2\cdot 3=6$ y $mcd(45,50)=5.$

   Finalmente dividimos numerador y denominador por el mcd: ${\displaystyle \frac{18}{24}}={\displaystyle \frac{18:6}{24:6}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ y ${\displaystyle \frac{45}{50}}={\displaystyle \frac{45:5}{50:5}}={\displaystyle \frac{9}{10}}$.

2. Para pasar del denominador $7$ a $-98$, es necesario multiplicar el $7$ por $-14$, ya que: $-98=-2\cdot 7^2=7\cdot (-14).$ Por lo tanto, podemos construir la fracción equivalente: ${\displaystyle \frac{-2}{7}}={\displaystyle \frac{-2\cdot (-14)}{7\cdot (-14)}}={\displaystyle \frac{28}{-98}}$.

Solución:

1. ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ y ${\displaystyle \frac{9}{10}},$ respectivamente.
2. ${\displaystyle \frac{28}{-98}}.$

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