D'una funció sabem que: $$f (0) = 3$$, $$f'(0) = 1$$, $$f(1) = 2$$ i $$f'(1)=-2$$. Calculeu el polinomi d'Hermite que interpola aquests punts.
Veure desenvolupament i solució
Desenvolupament:
En aquest cas tenim $$n+1=2$$ punts, per tant, el grau del polinomi d'Hermite serà $$2n+1 = 3$$. Procedim tal i com hem explicat a escriure en una taula els punts repetint aquells dels quals en coneixem la derivada:
| $$0$$ | $$3$$ | |||
| $${f'}_0=1$$ | ||||
| $$0$$ | $$3$$ | $$\dfrac{-1-1}{1-0}=-2$$ | ||
| $$\dfrac{2-3}{1}=-1$$ | $$\dfrac{-1+2}{1-0}=1$$ | |||
| $$1$$ | $$2$$ | $$\dfrac{-2+1}{1-0}=-1$$ | ||
| $${f'}_1=-2$$ | ||||
| $$1$$ | $$2$$ |
Així, el polinomi s'escriu de la mateixa manera, prenent el primer element de cada columna (començant per la segona).
$$$\begin{array}{rl} P_3(x)=& 3+1(x-0)-2(x-0)^2+1(x-0)^2(x-1)\\ =& 3+x-2x^2+x^3-x^2= x^3-3x^2+x+3 \end{array}$$$
Solució:
$$P_3(x)= x^3-3x^2+x+3 $$