Ejercicios de Interpolación de Hermite

De una función sabemos que: $$f (0) = 3$$, $$f'(0) = 1$$, $$f(1) = 2$$ y $$f'(1)=-2$$. Calculad el polinomio de Hermite que interpola estos puntos.

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Desarrollo:

En este caso tenemos $$n+1=2$$ puntos, por lo tanto el grado del polinomio de Hermite será $$2n+1 = 3$$. Procedemos tal y como hemos explicado, escribimos en una tabla los puntos repitiendo aquellos de los que conocemos la derivada:

$$0$$ $$3$$      
    $${f'}_0=1$$    
$$0$$ $$3$$   $$\dfrac{-1-1}{1-0}=-2$$  
    $$\dfrac{2-3}{1}=-1$$   $$\dfrac{-1+2}{1-0}=1$$
$$1$$ $$2$$   $$\dfrac{-2+1}{1-0}=-1$$  
    $${f'}_1=-2$$    
$$1$$ $$2$$      

Así, el polinomio se escribe de la misma forma, tomando el primer elemento de cada columna (empezando por la segunda).

$$$\begin{array}{rl} P_3(x)=& 3+1(x-0)-2(x-0)^2+1(x-0)^2(x-1)\\ =& 3+x-2x^2+x^3-x^2= x^3-3x^2+x+3 \end{array}$$$

Solución:

$$P_3(x)= x^3-3x^2+x+3 $$

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