El polinomio de Hermite es aquel que interpola una colección de puntos y el valor de sus derivadas en los puntos que deseamos. Es decir, supongamos que tenemos $$(x_k,f_k)$$ y $$(x_k,f'_k)$$.
Entonces construimos la misma tabla que en el método de Newton, poniendo en la primera columna los $$x_k$$, escribiendo dos veces el mismo punto si conocemos el valor de la derivada en ese punto, y en la segunda columna los valores de $$f$$ correspondiente al $$x$$ e la misma fila. Es decir, si conocemos el valor de $$f$$ en $$x_0$$ y el de su derivada también, escribiremos dos veces $$x_0$$ y al lado de cada uno $$f_0$$. Por ejemplo,
| $$x_0$$ | $$f_0$$ |
| $$x_0$$ | $$f_0$$ |
| $$x_1$$ | $$f_1$$ |
| $$x_1$$ | $$f_1$$ |
A partir de aquí procedemos de la misma forma, pero con la diferencia que tenemos que definir $$f[x_i,x_i]=f'_i$$, el valor de la derivada en $$x_i$$.
| $$x_0$$ | $$f_0$$ | |||
| $$f'_0$$ | ||||
| $$x_0$$ | $$f_0$$ | $$f[x_0,x_0,x_1]$$ | ||
| $$f[x_0,x_1]$$ | $$f[x_0,x_0,x_1,x_1]$$ | |||
| $$x_1$$ | $$f_1$$ | $$f[x_0,x_1,x_1]$$ | ||
| $$f'_1$$ | ||||
| $$x_1$$ | $$f_1$$ |
Por lo tanto, si disponemos de $$n +1$$ valores de la función y $$n +1$$ valores de las derivadas, el polinomio de Hermite tendrá grado $$2n +1$$.
Consideremos un ejemplo:
Supongamos que queremos calcular $$f\Big(\dfrac{1}{8}\Big)$$ donde $$f(x)=\tan(\pi x)$$ a partir de interpolación de Hermite en $$0,\dfrac{1}{4}$$.
Para conseguirlo, escribimos una tabla como en interpolación de Newton pero repitiendo cada dato del que conozcamos su derivada. Es decir:
| $$0$$ | $$0$$ | |||
| $$f'(0)=\pi$$ | ||||
| $$0$$ | $$0$$ | $$\dfrac{4-\pi}{\dfrac{1}{4}-0}=16-4\pi$$ | ||
| $$\dfrac{1-0}{\dfrac{1}{4}-0}=4$$ | $$\dfrac{8\pi-16-16+4\pi}{\dfrac{1}{4}-0}=148\pi-128$$ | |||
| $$\dfrac{1}{4}$$ | $$1$$ | $$\dfrac{2\pi-4}{\dfrac{1}{4}-0}=8\pi-16$$ | ||
| $$f'\Big( \dfrac{1}{4} \Big) = 2\pi$$ | ||||
| $$\dfrac{1}{4}$$ | $$1$$ |
Procediendo de la misma forma que en interpolación de Newton, obtenemos: $$$ P_3(x)= \pi x +(16-4\pi)x^2+ (48\pi-128)x^2\Big( x-\dfrac{1}{4}\Big)$$$
Ahora, $$$\tan\Big(\dfrac{\pi}{8}\Big)\approx P_3\Big(\dfrac{1}{8}\Big)=0.4018\dots$$$