Interpolación inversa

Supongamos conocidos $(x_{k}, f_{k})$ los datos correspondientes a una función $f (x)$ y queremos encontrar una aproximación del valor de $x$ tal que $f (x) = c$ , donde $c$ es un valor dado.

Lo que haremos es resolver la ecuación $x = g (c)$ donde $g$ es la función inversa de $f$ . Entonces interpolaremos esta función $g (y)$ y la evaluaremos en $y = c$ , es decir, si seguimos el método de Newton pondremos en la primera fila los valores $f_{j}$ y en la segunda los valores $x_{j}$ y procedemos de la misma manera.

Ejemplo

Por ejemplo, supongamos que queremos calcular un cero de la función $f (x) = x^{3} - 15 x + 4$ sabiendo que éste está cerca de $x = 0.3$ . Entonces haremos interpolación cuadrática, por ejemplo, de la inversa de $f (x)$ . Primero, pues, evaluamos la función en tres puntos cerca de $x = 0.3$ :

$x$	$0.2$	$0.3$	$0.4$
$f (x)$	$1.008$	$- 0.473$	$- 1.936$

Ahora escribimos la tabla para calcular las diferencias divididas de Newton, pero intercambiando las columnas, obteniendo los coeficientes del polinomio interpolador:

$1.008$	$0.2$
		$- 0.0675$
$- 0.473$	$0.3$		$0.00028963$
		$- 0.0684$
$- 1.936$	$0.4$

De esta forma el polinomio interpolación es:

$\begin{aligned} P_{3} (y) = & 0.2 + 0.0675 \cdot (y - 1.008) + 0.00028963 \cdot (y - 1.008) (y - 0.473) \\ = & 0.2679019090 - 0.067654 y + 0.00028963 y^{2} \end{aligned}$

Así una aproximación del cero de la función es:

$P_{3} (0) = 0.2679019090$