Interpolació inversa

Suposem coneguts $(x_{k}, f_{k})$ les dades corresponents a una funció $f (x)$ i volem trobar una aproximació del valor de $x$ tal que $f (x) = c$ , on $c$ és un valor donat.

El que farem és resoldre l'equació $x = g (c)$ on $g$ és la funció inversa de $f$ . Llavors, interpolarem aquesta funció $g (y)$ i l'avaluarem a $y = c$ , és a dir, si seguim el mètode de Newton posarem a la primera fila els valors $f_{j}$ i en la segona els valors $x_{j}$ i procedirem de la mateixa manera.

Exemple

Per exemple, suposem que volem calcular un zero de la funció $f (x) = x^{3} - 15 x + 4$ sabent que aquest està a prop de $x = 0.3$ . Llavors farem interpolació quadràtica, per exemple, de la inversa de $f (x)$ . Primer, doncs, avaluem la funció en tres punts prop de $x = 0.3$ :

$x$	$0.2$	$0.3$	$0.4$
$f (x)$	$1.008$	$- 0.473$	$- 1.936$

Ara escrivim la taula per calcular les diferències dividides de Newton, però intercanviant les columnes, obtenint els coeficients del polinomi interpolador:

$1.008$	$0.2$
		$- 0.0675$
$- 0.473$	$0.3$		$0.00028963$
		$- 0.0684$
$- 1.936$	$0.4$

D'aquesta forma el polinomi interpolació és:

$\begin{aligned} P_{3} (y) = & 0.2 + 0.0675 \cdot (y - 1.008) + 0.00028963 \cdot (y - 1.008) (y - 0.473) \\ = & 0.2679019090 - 0.067654 y + 0.00028963 y^{2} \end{aligned}$

Així una aproximació del zero de la funció és:

$P_{3} (0) = 0.2679019090$