Polinomi de Taylor

Ara construirem un polinomi de grau n que només passa per un punt determinat x0 i les seves n derivades en aquest punt coincideixin amb les n derivades de la funció f(x). Aquest polinomi rebrà el nom de polinomi de Taylor entorn al punt x0 de grau n de la funció f(x).

Aquest polinomi és:

Tn(x)=f(x0)+f(x0)1!(xx0)+f(x0)2!(xx0)2+f(x0)3!(xx0)3++f(n)(x0)n!(xx0)n

Per tant, donada una funció de classe Cn+1, és a dir, derivable n+1 vegades amb continuïtat, i un punt x0 on coneixem f(x0), f(x0), f(x0),, f(n)(x0), podrem calcular el polinomi de Taylor.

Exemple

Calculem el polinomi de Taylor d'ordre 6 de la funció f(x)=ex entorn x=0. Per això hem de conèixer el valor de la funció i de les seves 6 primeres derivades en el punt x=0. Calculem:

f(0)=1f(x)=exf(0)=1f(x)=exf(0)=1f(x)=exf(0)=1fiv(x)=exfiv(0)=1fv(x)=exfv(0)=1fvi(x)=exfvi(0)=1

Així doncs el polinomi de Taylor és:

T6(x)=1+x+12x2+16x3+124x4+1120x5+1720x6

Aquest polinomi es pot entendre com una aproximació polinòmica de la funció f(x). És a dir, de vegades ens resulta més còmode treballar amb polinomi que amb la pròpia funció. Davant d'això, ens preguntem quin error cometem prenent el polinomi en lloc de la funció. Doncs bé, aquest error, que ens mesura fins a quin punt és correcte agafar el polinomi, ve donat per l'expressió:

error=|f(x)Tn(x)|=f(n+1)(ξ(x))(n+1)!(xx0)n+1

on ξ(x) és un punt que està entre x0 i x.