Interpolació d'Hermite

El polinomi d'Hermite és aquell que interpola una col·lecció de punts i el valor de les seves derivades en els punts que desitgem. És a dir, suposem que tenim $(x_{k}, f_{k})$ i $(x_{k}, f_{k}^{'})$ .

Llavors construïm la mateixa taula que en el mètode de Newton, posant a la primera columna els $x_{k}$ , escrivint dues vegades el mateix punt si coneixem el valor de la derivada en aquest punt, i a la segona columna els valors de $f$ corresponent a la $x$ de la mateixa fila. És a dir, si coneixem el valor de $f$ en $x_{0}$ i el de la seva derivada també, escriurem dues vegades $x_{0}$ i al costat de cada un $f_{0}$ . Per exemple,

$x_{0}$	$f_{0}$
$x_{0}$	$f_{0}$
$x_{1}$	$f_{1}$
$x_{1}$	$f_{1}$

A partir d'aquí procedim de la mateixa forma, però amb la diferència que definim $f [x_{i}, x_{i}] = f_{i}^{'}$ , el valor de la derivada en $x_{i}$ .

$x_{0}$	$f_{0}$
		$f_{0}^{'}$
$x_{0}$	$f_{0}$		$f [x_{0}, x_{0}, x_{1}]$
		$f [x_{0}, x_{1}]$		$f [x_{0}, x_{0}, x_{1}, x_{1}]$
$x_{1}$	$f_{1}$		$f [x_{0}, x_{1}, x_{1}]$
		$f_{1}^{'}$
$x_{1}$	$f_{1}$

Per tant, si disposem de $n + 1$ valors de la funció i $n + 1$ valors de les derivades, el polinomi d'Hermite tindrà grau $2 n + 1$ .

Considerem un exemple:

Exemple

Suposem que volem calcular $f (\frac{1}{8})$ on $f (x) = \tan (π x)$ a partir d'interpolació d'Hermite en $0, \frac{1}{4}$ .

Per aconseguir-ho, escrivim una taula com en la interpolació de Newton però repetint cada dada de la que coneguem la seva derivada. És a dir:

$0$	$0$
		$f^{'} (0) = π$
$0$	$0$		$\frac{4 - π}{\frac{1}{4} - 0} = 16 - 4 π$
		$\frac{1 - 0}{\frac{1}{4} - 0} = 4$		$\frac{8 π - 16 - 16 + 4 π}{\frac{1}{4} - 0} = 148 π - 128$
$\frac{1}{4}$	$1$		$\frac{2 π - 4}{\frac{1}{4} - 0} = 8 π - 16$
		$f^{'} (\frac{1}{4}) = 2 π$
$\frac{1}{4}$	$1$

Procedint de la mateixa manera que en interpolació de Newton, obtenim: $P_{3} (x) = π x + (16 - 4 π) x^{2} + (48 π - 128) x^{2} (x - \frac{1}{4})$

Ara, $\tan (\frac{π}{8}) \approx P_{3} (\frac{1}{8}) = 0.4018 \dots$