Ahora vamos a construir un polinomio de grado $$n$$ que sólo pasa por un punto determinado $$x_0$$ y sus $$n$$ derivadas en ese punto coincidan con las $$n$$ derivades derivadas de la función $$f(x)$$. Este polinomio recibirá el nombre de polinomio de Taylor entorno el punto $$x_0$$ de grado $$n$$ de la función $$f (x)$$.
Este polinomio es:
$$$ \begin{array}{c} T_n(x)=f(x_0)+\dfrac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+ \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ \\ \dfrac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+ \dots \dots +\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \end{array} $$$
Por lo tanto, dada una función de clase $$\mathcal{C}^{n+1}$$, es decir derivable $$n +1$$ veces con continuidad, y un punto $$x_0$$ donde conocemos $$f(x_0), \ f'(x_0), \ f''(x_0), \dots, \ f^{(n)}(x_0)$$, podremos calcular el polinomio de Taylor.
Vamos a calcular el polinomio de Taylor de orden $$6$$ de la función $$f(x)=e^x$$ entorno $$x = 0$$. Para ello debemos conocer el valor de la función y de sus $$6$$ primeras derivadas en el punto $$x = 0$$. Calculémoslas:
$$$\begin{array}{lcl} f(0)=1 \\ f'(x)=e^x & \Rightarrow & f'(0)=1 \\ f''(x)=e^x & \Rightarrow & f''(0)=1 \\ f'''(x)=e^x & \Rightarrow & f'''(0)=1 \\ f^{iv}(x)=e^x & \Rightarrow & f^{iv}(0)=1 \\ f^{v}(x)=e^x & \Rightarrow & f^{v}(0)=1 \\ f^{vi}(x)=e^x & \Rightarrow & f^{vi}(0)=1 \end{array} $$$
Así pues el polinomio de Taylor es:
$$$T_6(x)=1+x+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{24}x^4+ \dfrac{1}{120}x^5+ \dfrac{1}{720}x^6$$$
Este polinomio se puede entender cono una aproximación polinómica de la función $$f(x)$$. Es decir, a veces nos resulta más cómo trabajar con polinomio que con la propia función. Delante de esto, nos preguntamos qué error cometemos tomando el polinomio en lugar de la función. Pues bien, este error, que nos mide hasta que punto es correcto coger el polinomio viene dado por la expresión:
$$$\text{error}=\big|f(x)-T_n(x)\big| = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi(x))}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$$
donde $$\xi(x)$$ es un punto que está entre $$x_0$$ y $$x$$.